Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
работе Kaplan, Yorke [1979b], характеристика самих геометрических
аттракторов Лоренца принадлежит Guckenheimer, Williams [1979] (см. раздел
5.7)1.
Напомним сведения о положениях равновесия уравнений Лоренца (2.3.1),
описанных в разделе 2.3. Для р sj 1 система Лоренца имеет в начале
координат глобально устойчивое положение равновесия. При р = = 1
происходит бифуркация типа "вилка", в результате чего одно из собственных
значений в начале координат становится положительным, при этом рождаются
два других устойчивых равновесия. Эти равновесия теряют устойчивость в
результате субкритической бифуркации Хопфа, когда с ними сливаются
неустойчивые периодические орбиты. Такая бифуркация происходит при р =
470/19 " 24,74 (в случае и = 10, /3 = 8/3). В диапазоне значений
параметра между этими бифуркациями положений равновесия 1 < р < 24,74
происходит ряд разительных глобальных изменений в динамике системы
Лоренца. Эти изменения можно описать в терминах одномерных отображений,
но строгое сведение к ним системы (2.3.1) пока не выполнено. Как и в
разделе 5.7, мы введем некоторое семейство геометрически определенных
моделей, связь которых с истинным поведением системы Лоренца остается
неподтвержденной, тем не менее, их поведение, видимо, согласуется с
результатами численного анализа системы Лоренца.
Ненулевые положения равновесия q± = (±y/'/3(p- 1), ±у/(3(р-1),р- 1)
системы Лоренца при р > 1 лежат на прямой, образованной пересечением
плоскостей z = p-1ях = у. Мы можем изучать последующие бифуркации данной
системы в интересующем нас диапазоне значений параметра при помощи
сечения Е (см. разделы 2.3. и 5.7) в плоскости z = р - 1 и отображение
Пуанкаре F для него. Можно также ввести в рассмотрение сильно устойчивое
слоение (Robinson [1981а]), состоящее из кривых, образованных точками,
которые асимптотически сближаются друг с другом с экспоненциальной
скоростью в процессе эволюции потока, как описано в разделе 5.7. Данный
поток индуцирует на этом семействе кривых по-лупоток, изображенный на
рисунке 2.3.3. Отображение возврата для этого полупотока является
разрывным на интервале I. В данном разделе мы будем работать
преимущественно с этим одномерным отображением, хотя при обсуждении
некоторых вопросов будут полезны ссылки на сечение Е и его отображение
возврата F.
Выделим из системы Лоренца некоторое семейство одномерных отображений,
соответствующее отображению возврата для сильно устойчивого слоения в
диапазоне значений параметра приблизительно 10 < р < 30
1См. также Афраймович, Быков, Шильников [1977].
388
Глава 6
(а)
(Ь)
О
Рис. 6.4.1. Система Лоренца при р ~ 10, (3 = ^: (а) поток; (Ь)
отображение fp.
(при этом мы сохраняем значения а = 10 и /3 = 8/3 фиксированными). В
начале этого диапазона поток остается простым: его неблуждающее множество
состоит лишь из трех положений равновесия. Ненулевые равновесия
устойчивы, но каждое из них имеет пару комплексных собственных значений.
Этот поток изображен на рисунке 6.4.1(a), а соответствующее отображение
возврата fp для сильно устойчивого слоения показано на рисунке 6.4.1(b).
При возрастании р происходит бифуркация, в которой неустойчивое
многообразие точки р превращается в пару гомоклинических траекторий.
Численно точка бифуркации определяется как р = р\ ~ 13,296, см. рисунок
6.4.2.
(а)
(Ь)
Рис. 6.4.2. Система Лоренца при р = pt ~ 13,926: (а) поток; (Ь)
отображение /р.
6.4. Бифуркации Лоренца
389
Рис. 6.4.3. Система Лоренца при р > pt: (а) поток; (Ь) отображение fp.
Напомним, что угловой коэффициент касательной к графику функции fp
бесконечно велик при приближении к точке разрыва, так как неустойчивое
собственное значение в точке р больше, чем абсолютная величина одного из
устойчивых собственных значений. Этот факт приводит к существованию
гиперболического инвариантного множества, топологически эквивалентного
надстроенной подкове и возникающего сразу после гомоклинической
бифуркации, показанной на рисунке 6.4.2. В терминах отображения возврата
fp это инвариантное множество создается следующим образом. Потоки,
возникающие после гомоклинической бифуркации, таковы, что каждая ветвь
неустойчивого многообразия точки р пересекает противоположную сторону
устойчивого многообразия этой точки при первом спуске: см. рисунок 6.4.3.
Ввиду этого график функции fp пересекает биссектрису в паре неподвижных
точек г-, г+. Эти неподвижные точки отображения соответствуют
неустойчивым периодическим орбитам потока в общих чертах подобно тому,
как периодические орбиты возникают при бифуркации петли седла на
плоскости, описанной в разделе 6.1.
Теперь сосредоточим внимание на графике fp в интервале [г", г+]. Эта
часть графика показана с увеличением на рис. 6.4.4. В интервале [г~,г+]
производная велика, следовательно, каждая ветвь графика проходит по
вертикали вдоль всего квадрата, противоположные вершины которого лежат на
биссектрисе над точками и г+. Обозначим за d точку разрыва для fp, тогда
