Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
вертикальном смещении множества Ws (Л) канторово множество, на котором
IHS(A) имеет горизонтальное касание, отойдет от WU(K), как это происходит
в случае, когда Л является одной точкой или периодической орбитой, как в
предыдущем разделе. Однако, как обнаружил Newhouse, для гиперболических
множеств общего вида это не всегда возможно по причинам, которые мы
сейчас объясним, отойдя от динамической терминологии.
Пусть Гт и Г2 - два канторовых множества, содержащихся в единичном
интервале. Будем искать условия их пересечения. Одно из таких условий
состоит в том, что Гт и Г2 - канторовы множества с перекрывающимися
носителями и положительной мерой Лебега (см. раздел 5.4), а сумма их мер
больше единицы. Тогда /х(Гi П Г2) = /i(Ti) + ц(Г2) - ц(Г 1 U Г2) > О,
откуда (Гт ПГ2) ^ 0. Однако канторовы множества, появляющиеся в
гиперболических множествах, имеют нулевую меру Лебега, поэтому данное
условие здесь неприменимо. Например, в кусочно-линейной подкове канторовы
множества определяются лишь при помощи конструкции "среднего а", в
которой из середины замкнутых интервалов последовательно удаляются
открытые интервалы относительной длины а. Канторовы множества,
412
Глава 6
определяемые таким образом, имеют нулевую меру Лебега, но ненулевую
хаусдорфову размерность (см. раздел 5.8). Если эта размерность обладает
разумными свойствами, то она должна удовлетворять (при подходящих
допущениях) неравенству dim(ri П Г2) dim(ri) + dim (Гг) - 1. Newhouse
ввел родственное понятие толщины канторова множества, естественным
образом приводящее к нужной нам гипотезе.
ОО
Представим канторово множество Г С 1 формулой К - Г = (J Ui,
г= - 2
где U-2 и U-i - неограниченные компоненты множества К - Г, а остальные U,
представляют собой непересекающиеся открытые интервалы. Интервалы Ui
являются щелями в Г, а множества Cj = R - (J Ui (j ^ 0)
образуют определяющую последовательность для Г. Компоненты множеств Cj
являются замкнутыми интервалами, которые мы называем мостами. (Интервал
Со = К - (Ui U U2) содержит данное канторово множество.) Каждое из
множеств Uj является подмножеством некоторого моста Bj из Cj, делящим Bj
на два моста В1- (левый) и В/ (правый), лежащие в Cj+i. Обозначая длину
интервала J как Z(J), определим величину
'1{В1Л 1{В1 =&(#•#'¦ (6'7Л)
Толщина т(Г) равна
т(Г) = sup{T({C)}), (6.7.2)
где {С\} - определяющая последовательность для Г.
К примеру, если Г - канторово множество, определяемое конструкцией
среднего а на I, тогда для любой определяющей последовательности {С)},
которая удаляет на г-м шаге некоторое множество Uj возможно большей
длины, имеем
_ (1 - сЛ l{Bj) _ 1 - а " у ^
l(Uj) Щ) у 2 )al(Bj)- 2а
(см. рисунок 6.7.2). Таким образом, т(Г) = (1 - а)/2а.
Предложение 6.7.1 (Newhouse [1970]). Пусть Ti и Гг - два канто-ровых
множества в R таких, что т(Г1)т(Г2) > 1, Г1 не содержится в некоторой
щели в Гг, а Гг не содержится в некоторой щели g Tj. Тогда Г1 П Гг Ф 0.
6.7. Дикие гиперболические множества
413
V/(SP ^КВ,)
В, Е Э-----------------------Е-----------
В' и, в;
a-l(Bj)
Рис. 6.7.2. Толщина канторова множества.
Доказательство. Выберем определяющие последовательности {Сф из Ti и {Di}
из Г2 таким образом, чтобы т({С)}) • r({Dj}) > 1. Если множества Со и Dо
отделены, то ГД содержится в некоторой неограниченной щели в Г2 и
наоборот. Таким образом, Со П Do Ф 0. Докажем по индукции, что С{П Di ф
0. Поскольку эти множества компактны и Ci П Di D Gi+1 П Di+1, то из
свойства конечного пересечения следует, что Ti П Г2 ф 0.
W в' и, в'г в'
3 Е 3----С-------------------3 Е 3--------------------- [-------------
-------3
•М Е-3..........................•••'••
(ь)
Рис. 6.7.3. (а) В1 С И С В2; (Ь) В1 и В2 перекрываются.
Допустим, что Ci П Di ф 0. Пусть В1 и В2 - такие мосты в Ci и Di, что В1
П В2 ф 0. Положим В1 -Ui = В1 С\ 1 и В2 - Vi = В2 n Di+1 (множества Щ или
Vi могут быть пустыми). Мы утверждаем, что (В1 - - Ui) П (В2 - V.) ф 0.
Необходимо рассмотреть два случая: в первом из них В1 С В2 или наоборот,
во втором - оба множества В1 - (В1 П В2) и В2 - (В1 П В2) непусты (см.
рисунок 6.7.3).
Если В1 С В2 я (В1 - НД П (В2 - V)) ф 0, то Н1 С V). Одна из щелей W в Си
граничащая с В1 (скажем, слева) удовлетворяет неравенству l(B1)/l(W) ^
т({Сф), а левая компонента В21 множества В2 - Vi удовлетворяет
неравенству l(B2l)/l(Vi) > т({?>*}). Следовательно, 1 < 1{Вг)/Щ) ¦
{l{B2l)/l{W)) < l{B2l)/l{W) или l(W) < 1{В21). Отсюда следует, что (В2 -
V)) П (С) - В1) ф 0, так что Dj+i П С)+1 ^ 0. Тем самым рассмотрение
случая В1 С В завершено. Если оба множества В1 - (В1 П В2) иВ2- (П1 П В2)
непусты и В1 содержит точки слева от Е>2, то правый конец П1 лежит в , а
левый конец В2 лежит в В1. Обозначим В1г правую компоненту В1 -[7* и П2г
- левую компоненту В2 - Vi.
414
Глава 6
Тогда из неравенств l(Blr)/l(Ui) > и l(B2l)/l(Vi) > т({1А}) сле-
дует, что (l(Blr)/l(Vi) ¦ l(B2l)/l(Ui)) > 1. Поэтому одновременное
выполнение включений В1г С и В21 С U невозможно. Мы приходим к выводу,
