Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
оба интервала [г-, d) и (d, г+] переходят под действием fp на [г~, г+] с
производной, большей единицы. Используя [r~, d) и (е?, г+] как разбиение
Маркова для [г_,г+], мы установим существование некоторого
гиперболического инвариантного множества Л, символическая динамика
которого описывается при помощи одностороннего (полного) сдвига на двух
символах. Аналогичная конструкция для отображения возврата F на сечении ?
390
Глава 6
Рис. 6.4.4. Увеличенное отображение fp в [г , г+].
Jb\
Ш ш У2 ж
с: V, т
Рис. 6.4.5. Сдвиг для отображения Лоренца F.
позволяет построить подкову как инвариантное множество для F. На рисунке
6.4.5 показаны две полоски V] на сечении ? и их образы Щ под действием /.
Заметим, что F имеет сдвиг на двух символах с матрицей перехода
Г1 1"
А =
1 1
(6.4.1)
УПРАЖНЕНИЕ 6.4.1. Убедитесь в корректности вышеприведенного утверждения.
Используйте методы раздела 5.2 (см. раздел 5.7).
УПРАЖНЕНИЕ 6.4.2. Постройте разбиение Маркова с четырьмя элементами и
покажите, что найденное выше инвариантное множество, соответствующее
сдвигу на двух символах, можно описать как подсдвиг на четырех символах с
матрицей перехода
А =
п 1 0 0'
0 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
(6.4.2)
Отсюда сделайте вывод, что F2n имеет 4п неподвижных точек (/2 имеет
полный сдвиг на четырех символах). (Подсказка: см. конструкцию Levi,
описанную в конце раздела 5.3, или Kaplan, Yorke [1979b].)
6.4. Бифуркации Лоренца
391
Рис. 6.4.6. Еще одна бифуркация для /р: А становится аттрактором.
Из формулы (6.4.1) мы можем вывести, что отображение Fn имеет 2п
неподвижных точек. Из расширения по горизонтали и сжатия по вертикали
следует, что все они имеют седловой тип. Больше подробностей можно найти
в работе Kaplan, Yorke [1979b],
Kaplan и Yorke назвали данный параметрический режим предтурбу-лентным. В
то время как почти все траектории в конце концов стремятся к q~ или к q+,
имеются длительные переходы, динамика которых изучалась при помощи
статистических методов в Piangiani, Yorke [1979]. Это гиперболическое
инвариантное множество разделяет области фазового пространства,
причудливо закручивающиеся вокруг q~ и q+ до тех пор, пока они не
достигают малой окрестности одной из этих точек и "успокаиваются".
Заметим, однако, что мера канторова множества Л равна нулю, поэтому почти
все орбиты, начинающиеся на отрезке [г-,г+], в конце концов сходят с него
и приближаются к q~ или q+.
Бифуркация, превращающая инвариантное множество Л претурбулент-ного
потока Лоренца в аттрактор, весьма тонка. С ростом р неподвижные точки и
г+ отображения /р сдвигаются к f и q+, а значения fp(d) движутся к q~ и
q+ медленнее. При некотором значении параметра р = ра получим fPa(d~) =
г+ и fPa(d+) = г~. Численные расчеты приводят к значению ра = 24,06
(Kaplan, Yorke [1979b].) График / для этого значения параметра
иллюстрируется рисунком 6.4.6.
Интервал (г~, г+) отображается под действием fPa внутрь себя, и точки
этого интервала уже не могут приближаться к устойчивым неподвижным точкам
q и q+. Инвариантное множество потока Л становится теперь аттрактором
(хотя его область притяжения не является окрестностью Л, так как точки
вблизи периодических орбит, соответствующих г±, могут стремиться к q^).
Топология множества Л изменяется от надстройки канторова множества до
объекта, содержащего двумерные поверхности, как в разделе 5.7. Мы имеем
здесь рождение (геометрического) аттрактора Лоренца,
392
Глава 6
имеющее место при таком значении параметра, для которого имеются гете-
роклинические траектории, идущие из положения равновесия р к
периодическим орбитам, соответствующим г±.
Для значений р после прохождения через только что описанную ге-
тероклиническую бифуркацию мы получаем геометрические аттракторы Лоренца
типа описанных в разделе 5.7. Эти аттракторы впервые появляются до того,
как точки теряют устойчивость. Периодические орбиты, соответствующие г±,
не являются частью аттрактора, они составляют изолированную часть
неблуждающего множества. Устойчивые многообразия этих периодических орбит
отделяют траектории, приближающиеся к q± от траекторий, приближающихся к
аттрактору Л. При дальнейшем росте р периодические орбиты,
соответствующие г , сталкиваются в точках q± при субкритической
бифуркации Хопфа, происходящей при р = ри ~ 24.74 и обсуждавшейся в
начале данного раздела, а также в разделе 2.3. Таким образом, эта
бифуркация Хопфа практически несовместима с динамикой самого аттрактора.
Она лишь отмечает окончание такого диапазона значений параметра, в
котором в системе существуют сложные аттракторы.
Последний вопрос, который мы обсудим, касается структурной устойчивости
аттракторов Лоренца. Как мы отметили в разделе 5.7, эти аттракторы не
являются, строго говоря, структурно устойчивыми. Тем не менее, можно
воссоздать некоторый геометрический аттрактор Лоренца, воспользовавшись
отображением возврата / на его строго устойчивом слоении. Как мы видели в
