Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеющие одинаковые символические последовательности для точки (-1), то мы
можем при помощи леммы определить сохраняющее порядок отображение ф из /
в д, отождествляющее точки с одинаковыми символическими
последовательностями. Мы оставляем читателю проверку того, что ф является
топологической эквивалентностью, что и завершает доказательство теоремы.
¦
Упражнение 6.4.3. Символические последовательности для точки (-1) для
отображения, удовлетворяющего (6.4.3), не отличаются разнообразием.
Покажите,
'Если /те(±1) = 0 для некоторого п, то мы по-прежнему ассоциируем с нулем
ровно две символические последовательности, являющиеся пределами
символических последовательностей, соответствующих х ф 0 при х -> 0.
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках
395
что если / удовлетворяет (6.4.3), а производная /' больше, чем л/2, то
существует а 6 (\/2, 2] такое, что / топологически эквивалентно кусочно-
линейному отображению д: [-1,1], определяемому формулой
Анализ ситуации в случае, когда производная /' заключена в пределах от 1
до \f2, проведен в работе Glendirming [1990].
В заключение данного раздела заметим, что свойства симметрии системы
Лоренца играют важную роль в описанных нами бифуркациях. Имеется проект
определения модификации этих бифуркаций при возмущениях системы Лоренца,
разрушающих вращательную симметрию относительно оси z. Некоторые
замечания, касающиеся этой проблемы, содержатся в Guckenheimer [1980Ь].
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках: пример Шильникова
В данном разделе мы рассмотрим трехмерный поток, в котором имеется
гомоклиническая траектория к некоторой седловой точке с комплексными
собственными значениями. Шильников [1965] показал1, что если вещественное
собственное значение больше, чем модуль вещественной части комплексных
собственных значений, то отображения возврата в окрестности
гомоклинической орбиты содержат подковы. Описание последовательности
бифуркаций Лоренца в разделе 6.4 показало, что гомоклиническая орбита
может быть ассоциирована с появлением (надстроенной) подковы по одну
сторону от бифуркации в пространстве параметров. Отличие примера
Шильникова состоит в том, что подковы существуют в полной окрестности
значения параметра, для которого имеет место гомоклиническая орбита.
Кроме того, бифуркация Лоренца требует симметрии системы, которая в
примере Шильникова не предполагается. Здесь мы опишем лишь один из
случаев, рассмотренный Шильниковым. В диссертации Tresser [1982]
содержится более полная информация о системах шильниковского типа.
Рассмотрим поток в R3, имеющий в начале координат положение равновесия,
для которого одно из собственных значений вещественно и положительно, а
два других со, со комплексно сопряжены и имеют отрицательные
действительные части (случай, когда Л < 0, a Re(o;) > 0 рассматривается
аналогично). Теорема об устойчивом многообразии позволяет ввести
координаты таким образом, что локальное неустойчивое многообразие лежит
на оси z, а локальное устойчивое многообразие лежит на плоскости (х,у).
Положим далее, что траектория у С Wu (0), восходящая вверх
1См. также Шильников [1970]. -Прим. ред. перев.
396
Глава 6
Рис. 6.5.1. Гомоклиническая орбита к спиральному седлу.
вблизи нуля, является гомоклинической орбитой, которая при t -> оо
попадает на координатную плоскость (х, у) и наматывается по спирали на
начало координат (см. рисунок 6.5.1).
В данном разделе мы изучим отображение возврата для орбит вблизи у и
докажем следующую теорему:
Теорема 6.5.1 (Шильников [1965]). Если | Re lo\ < Л, то поток <f>t
допускает такое возмущение ф'г, которое обладает гомоклинической орбитой
у' вблизи у, а отображение возврата для у' вблизи ф\ имеет счетное
множество подков.
Доказательство. Доказательство данной теоремы требует тщательного анализа
потока для траекторий, проходящих вблизи начала. Для упрощения этого
анализа введем начальное возмущение потока фг, линеаризующее его
векторное поле в некоторой окрестности U начала координат. Далее в
процессе доказательства будем полагать, что свойством линейности обладает
исходное векторное поле. В этом случае решение системы уравнений
описывающей поток вблизи начала координат, дается формулой
(6.5.2)
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках
397
Рис. 6.5.2. Сечения Ео иЕь
По мере удаления траекторий от начала "радиальная" координата г = = у/х2
+ у2 уменьшается, a \z\ увеличивается.
Определим две поверхности Ео и Ei формулами
So = {(x,y,z) I X2 +у2 = Го, 0 < Z < Zi},
9 9 9 (6.5.3)
Ei = {(х, у, z) | х +у <r0, z = zi>Q}.
Мы считаем, что Ео и Ei лежат в той окрестности U, в которой
рассматриваемый поток линеен. Траектории переходят с Ео на Ei в
соответствии с формулами (6.5.2). Мы хотим вычислить отображение ф: Ео ->
Ei, ставящее в соответствие каждой точке а ? Ео первое пересечение
стартующей в этой точке траектории с поверхностью Ei (см. рисунок 6.5.2).
Формулу для ф можно получить, разрешая уравнение z\ = extz{0)
