Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
отображения - значение det (DF) = 2ц < 1. Поскольку коэффициент
расширения в направлении оси X постоянен, в качестве подмножеств V(x,e,n)
можно выбрать диски (или квадраты) диаметра е/2", так что
мя=ь(? •2")}
п 1
lim lim inf < - In 2 - - In ?
?-т[) П-^ОО I 'L 'L
{
| = In 2. (5.8.14)
Из теоремы 5.8.2 следует
HD (ц) = In 2
_L 1_
In 2 In ц
In 2
1п(1/ц) + In 2 1п21п(1/ц)
что соответствует (5.8.12).
Глава 6
Глобальные бифуркации
В главе 3 мы имели дело со свойствами локальных бифуркаций для положений
равновесия и периодических орбит. Развитая там теория опирается на
преобразования координат, приводящие системы общего вида к нормальной
форме, в результате чего информацию о динамике можно получить из
разложения Тейлора векторного поля в особой точке.
В данной главе мы рассмотрим такие динамические свойства, которые нельзя
вывести из локальной информации. Скорее, описываемая здесь ситуация
включает глобальные аспекты потоков. Простейшие из них связаны с наличием
гомоклинических орбит у плоских векторных полей. Мы уже встречали
несколько примеров таких гомоклинических, а также гетерокли-нических
орбит. Эти орбиты служили исходным пунктом для применения методов теории
возмущений с целью обнаружения трансверсальных гомоклинических точек
уравнения Дуффинга с возбуждением (глава 4), а в главе 5 мы привели
примеры богатства динамического поведения, проявляющегося при возмущении
таких точек.
В первом разделе мы вновь рассматриваем плоские гомоклинические и
гетероклинические орбиты и развиваем теорию бифуркаций, описывающую
типичные сценарии их разрушения под действием малых возмущений и
появления при этом новых инвариантных множеств. Затем мы обсудим
диффеоморфизмы окружности, которые уже встречались нам в связи с потоками
на торах, и опишем некоторые свойства чисел вращения в параметризованных
семействах таких отображений. В третьем разделе мы разовьем дискуссию о
необратимых отображениях интервала, начатую в разделе 5.6, и опишем
бифуркации таких отображений. Раздел 6.4 вновь касается уравнений
Лоренца, и мы используем однопараметрическое семейство одномерных
отображений, аналогичных представленным в разделе 2.3 для описания
глобальных бифуркаций, в которых могут возникнуть аттракторы лоренцова
типа.
Затем в разделе 6.5 мы вернемся к гомоклиническим орбитам и опишем
динамику вблизи орбиты, гомоклинической к неподвижной точке, в некотором
классе трехмерных потоков. В последних двух разделах мы имеем дело с
рождением у двумерных диффеоморфизмов трансверсальных гомоклинических
орбит. Мы уже видели при обсуждении моделей Ван дер Поля, Дуффинга и
подскакивающего мяча, что типично возникновению та-
6.1. СЕДЛОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
361
ких орбит предшествует касание устойчивого и неустойчивого многообразий
некоторой неподвижной или периодической точки. В этих разделах мы опишем
некоторые аспекты бесконечных последовательностей бифуркаций, приводящие
к рождению подков при замене касательного пересечения на трансверсальные
гомоклинические точки.
В последнем разделе мы вернемся к одномерным отображениям для
ознакомления с применением методов ренормализации к обнаружению и анализу
универсального характера масштабирования степеней отображений. Эти идеи
первоначально применялись в задачах физики сплошной среды, использование
их в обсуждаемом контексте было предложено Фей-генбаумом [1978]. С тех
пор возникла заметная "индустрия масштабирования", в частности, в
сообществе физиков.
6.1. Седловые соединения
Простейшие глобальные бифуркации возникают в плоских векторных полях при
наличии траекторий, соединяющих две седловые точки или образующих петлю,
содержащую единственную седловую точку. Рассмотрим систему
X = и + х2 - ху,
. 2 2 Г (6ЛЛ)
У = У х 1
(см. упражнение 1.9.1). Если ц = 0, эта система имеет два положения
равновесия (0, ±1), а собственные значения в каждом из них имеют
противоположные знаки. Кроме того, ось у инвариантна, так как из х = О
следует х = 0. Таким образом, интервал (-1,1) оси у является траекторией,
соединяющей две седловые точки (0, ±1). Эта ситуация структурно
неустойчива, и мы хотим описать, что произойдет при возмущении параметра
/1. Несложные вычисления показывают, что седловые точкт сместятся в
положения (±ц, ±1) + 0(/i2). В точках интервала (-1,1) оси у поток будет
иметь ненулевую горизонтальную составляющую х = р, и мы приходим к
выводу, что траектория, соединяющая при р = 0 две седловые точки,
переходит в две седловых сепаратрисы, ни одна из которых не пересекает
оси у. Фазовые портреты этого потока иллюстрируются рисунком 6.1.1.
УПРАЖНЕНИЕ 6.1.1. Проверьте вышеупомянутые вычисления при помощи метода
Мельникова. (Так как невозмущенная система негамильтонова, следует
вначале сделать упражнение 4.5.1.)
Между портретами при ц < 0 и при р > 0 существует качественное различие.
Если р < 0, сепаратриса верхнего положения равновесия р\ лежит слева от
сепаратрисы точки р2, и траектории с ростом времени могут
