Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
может быть разной в различных направлениях. Определение показателей
Ляпунова формализует понятие этих коэффициентов растяжения.
Определение 5.8.2. Пусть /: R" ¦ R" - дискретная динамическая система, х
? R". Допустим, что существуют подпространства VD V/2^ D ... D
касательного пространства fl(x) в точке и числа /ii ^ /12 ^ ^ fin со
следующими свойствами:
1) Df(vV) = V"\;
2) dim V,= п + 1 - j;
3) lim (1/JV) In || J(DfN)*(DfN) • u|| = ji3 для всех v ? V0U) - H0(j+1),
N->oo
где (DfN)* - матрица, транспонированная к Dfn.
Тогда числа jij называют показателями Ляпунова отображения / в точке х.
Если х = х - неподвижная точка, то подпространства = V(r) не зависят от * и
представляют собой просто собственные пространства, ассоциированные с
(множествами) собственных значеншШДж). Показатели Ляпунова равны
логарифмам модулей этих собственных значений.
354
Глава 5
К примеру, пусть Df(x) =
ц2
, где Ai > А2. Возьмем V^ =
Аа О О A2j
span{(l, 0), (0,1)} = М2 и V1^2) = span{(0,1)}. Свойства (1) и (2)
немедленно выполняются, и мы имеем
и-i = lim -^7 In
лг^оо N
о м
о > U)
при v ?
при v е V- У*-2-1
р2 = lim Try In
n^oo N
lim -^rlnlAf
АГ^оо N ' 1
N
о /иЛ
о > W
In I A-.
= lim - In |A^| = In IA2
00 N 1
(5.8.4)
Точно так же, как понятие устойчивого и неустойчивого многообразий было
обобщено на орбиты, отличные от неподвижных точек и периодических циклов,
это определение обобщает понятие собственных значений для получения
средних скоростей линейного сжатия и растяжения на орбите.
Заметим, что подпространство Vq^ - Vq2"* состоит из всех векторов
из ГЖМ", растущих с максимально возможной скоростью, - V]}3"* состоит из
всех векторов, растущих со следующей максимальной скоростью, и т. д.
Как следует из мультипликативной эргодической теоремы Оселедеца [1968]
(см. Ruelle [1979]), показатели Ляпунова существуют в весьма общем
случае, когда / класса С1, a Df непрерывна по Хельдеру с некоторым
показателем 9. Для любой инвариантной относительно / меры р почти все (по
отношению к р) точки имеют показатели Ляпунова. Ruelle [1979] доказал
замечательный результат о существовании гладких инвариантных устойчивых
подмногообразий в М", касательных к подпространствам, фигурирующим в
определении отрицательных показателей Ляпунова 5.8.2. Эти теоремы
Оселедеца и Рюэлля (см. также Песин [1977]) вселяют уверенность, что
статистические подходы к изучению общих динамических систем применимы к
более широким классам систем, нежели описываемые в данной книге системы,
которые можно исследовать геометрическими методами. Алгоритмы вычисления
показателей Ляпунова, инвариантных мер и энтропий особенно интенсивно
применялись физиками. Существует также надежда, что геометрическую и
статистическую точки зрения можно во многом соединить. Интересные
начальные результаты в этом направлении получены Katok [1980, 1981] для
двумерных диффеоморфизмов.
Упражнение 5.8.3. С помощью микрокомпьютера или программируемого
калькулятора вычислите показатели Ляпунова для отображения х ах( 1 -
х)
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
355
для различных а ? (3,4] и для отображения Лоренца для уравнения (2.3.6).
Сравните ваши результаты со значением у = In 2, полученным для
отображений типа "шатер" и для х -> 2х (mod 1).
В оставшейся части данного раздела мы обсудим два типа величин,
ассоциирующихся с инвариантным множеством: энтропия и размерность.
Начнем, следуя Takens [1980], со знакомства с топологическими версиями
этих понятий, а затем рассмотрим соответствующие определения в контексте
теории меры. Пусть Л - компактное инвариантное множество для
диффеоморфизма /: К(tm) -> R(tm). Для натурального числа п и положительного е
назовем множество S С Л (п, е) разделенным множеством, если для любых
двух его различных элементов х, у найдется такое 0 ^ г < п,
Определение 5.8.3. Пусть s{n,e) - максимальная мощность (п,е)
разделенного подмножества Л. Определим
Тогда h(f) называется топологической энтропией /. Емкостью Л называется
число
Емкость Л не зависит от /. Она является мерой скорости роста числа шаров
радиуса е, требующихся для покрытия Л при s ¦ 0. При фиксированном е > 0
как критерии разделимости h(f) является мерой скорости роста числа
различных траекторий в Л в зависимости от длины траектории. Понятие
емкости тесно связано с понятием размерности Хаусдорфа.
Определение 5.8.4. Хаусдорфова размерность метрического пространства X
определяется как нижняя грань чисел а со следующим свойством: для любого
е > 0 существуют 5 > 0 и покрытие °U множества X, состоящее из множеств
диаметра меньше 5, такие, что (diam.B)a < е.
Заметим, что хаусдорфова размерность совпадает с обычной целой
размерностью для гладких многообразий и евклидовых пространств.
В качестве примера рассмотрим канторово множество, получаемое после
отбрасывания средних третьих. Так как конструкция данного множества
равномерна, то мы можем покрыть его системой из 2" отрезков, каждый
