Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 130

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 199 >> Следующая

П2- Следовательно, все дуги /"(/) разъединены. Поскольку окружность S1
имеет конечную длину, то интервалы /"(/) должны быть исчезающе малыми при
больших |гг|. Отсюда следует, что для больших п производная отображения
/" в некоторых точках очень велика, а производная отображения / " в
некоторых точках очень мала. При этом вариация функции 1п(/")' не будет
ограничена равномерно по п.
Denjoy [1932] заметил, что колебания величины 1п(/")' не могут расти
неограниченно на такой дуге, как I, если функция имеет ограниченную
вариацию. Данный аргумент прост, но фундаментален. Если х, у ? I и J =
(х, у), то, как мы знаем, дуги /*("/) разъединены. Представляя (/")' в
виде произведения по правилу дифференцирования сложной функции, получим
п - 1
In {ГУ {у) - 1п(РУ(х) = ]T(ln/'(f (у)) - In f(f(x))). (6.2.15)
г=0
374
Глава 6
Правая часть этого уравнения меньше полной вариации функции In /', так
как дуги fl(J) разъединены. (Если / дважды дифференцируема, то мы
получаем
In(ГУ(у)-ЩП'(х) = ^2 j <6-2Л6)
г=0/'" s 1
Эта оценка "нелинейного искривления" функции /" тесно связана с оценками,
возникающими при выводе статистических свойств асимптотических мер на
гиперболических аттракторах. Здесь она ведет к следующей теореме.
Теорема 6.2.5 (Denjoy [1932]). Пусть f - некоторый диффеоморфизм на S1
такой, что число вращения p(f) = а иррационально, a In/' имеет
ограниченную вариацию. Тогда / и Ra топологически сопряжены.
Доказательство. Определим Па(в) = в + а. Выберем большое число п, для
которого па (mod 1)| < ka (mod 1)| для к < п. Если К (более короткая)
дуга от 0 до па, то мы утверждаем, что R^(K) П Rla(K) = 0 для 0 ^ к, I <
п и к ф I. (В противном случае существовали бы такие х, у, что \х - у\ <
па (mod 1)| и \х - у\ = \ (к - l)a (mod 1) |, что противоречит выбору п.)
Теперь рассмотрим / и предположим, что существует такой интервал J, все
образы которого отделены друг от друга. Так как порядок точек на орбите
отображения / такой же, как порядок для Ra, существует дуга а, содержащая
J и /"(J) и обладающая тем свойством, что все дуги /*(/), 0 ^ i < п
отделены друг от друга. Мы приходим к выводу, что если у, z ? I, то
я -1
ln(/")'(z) - НП'(у) = ]Г(1п - Inf (Г (у))) ^ Var(ln /').
i=О
(6.2.17)
Пользуясь (6.2.17), мы можем найти число М > 0, не зависящее от п, такое,
что
1 (.ГУ(у)
^ w < м (6.2.18)
для всех у, z Е I. Отсюда, обозначая длину интервала К как 1(К), получаем
оценку
а < < м, (6.2Л9)
6.2. Числа вращений
375
так как из теоремы о среднем значении следует, что существуют точки у е
f~n(J) И z е J такие, что (fn)'(y) = l(J)/l(f~n(J)) и (fn)'(z) = =
4fn(J))/l(J)- Как мы уже видели, l(f~n(J)) • -> 0 при гг -> оо
(так как образы интервала J разделены), что противоречит данному
неравенству. Следовательно, определенное выше отображение h взаимно
однозначно и осуществляет топологическое сопряжение / и Ra. я
Данная теорема является лишь началом обширного и глубокого
математического сюжета. Функция h из теоремы Denjoy, осуществляющая
сопряжение / и Ra, почти единственна. Если hi и hi - две таких функции,
то hihp1 осуществляет сопряжение Ra в себя. Любое самосопряжение h
отображения Ra удовлетворяет уравнению h(x) + па = h(x + na) (mod 1) для
всех целых п. Поскольку точки {па (mod 1)} образуют плотное множество, мы
приходим к выводу, что h{0) + у = h(y) (mod 1) для всех у и
фиксированного х = 0. Таким образом, h есть поворот, и пара сопряжений /
и Ra удовлетворяет соотношению /гД/г^Г1 (ж)) = х + f3 для некоторой
постоянной р. Следовательно, имеет смысл обсудить гладкость сопряжения,
связывающего некоторый диффеоморфизм / с иррациональным числом вращения а
и жесткое вращение Ra.
Имеется две основных теоремы, касающиеся данной проблемы гладкости.
Первая из них включает возмущения жесткого вращения. Мы хотим решить
уравнение h(f(x)) = h(x) + а для данных h и / и а = p(f). Если / = Ra +
/, a h = id +h, где /, h малы, то данное уравнение можно линеаризовать,
полагая h(f(x)) ~ f(x) = h(Ra{x)). Линеаризованное уравнение имеет вид
h(x + а) - h(x) = -f(x). (6.2.20)
Раскладывая h и / в ряды Фурье
fix) = J2 h(x) = Е Ьте2ттх, (6.2.21)
получим
h{x + a)-h{x) = EMe2(tm)" - 1)е2ттх =Y^ame2mmx. (6.2.22)
Таким образом, линеаризованное уравнение можно решить формально,
приравнивая члены рядов Фурье для f(x) и h(x + а) - h(x):
Ьт = ~У , (6-2.23)
376
Глава 6
(если ао = 0). Здесь имеется серьезное препятствие к сходимости,
называемое проблемой малых знаменателей. Знаменатели e2wima - 1
невозможно отделить от нуля, поэтому сходимость рядов Фурье для h
проблематична. Заведомо необходимо наложить на а арифметические
диофантовы условия, предоставляющие оценки для возможной малости величин
е27ггта - 1. Наиболее строгие неравенства, которые удовлетворяются для
почти всех а, имеют вид
где постоянные с, е > 0 зависят от а. Числа а, удовлетворяющие
неравенству (6.2.24) для некоторых с, ? > 0, называются плохо
аппроксимируемыми рациональными числами. Заметим, что если целое число п
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed