Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 131

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 199 >> Следующая

(зависящее от то) выбрано так, что \агп - п\ мало, то
так как 1 = e2wm и \(d/dx)(e2wix)\ > 1. Таким образом, (6.2.24) можно
заменить на условие
При выполнении этих условий можно показать сходимость рядов Фурье. Кроме
того, множество чисел вращения а, для которых (6.2.26) выполнено, имеет
единичную меру Лебега. Подробности можно найти в работах Арнольда [1965]
и Herman [1977].7
Для чисел вращения, являющихся в указанном смысле достаточно
иррациональными, желательно получить решение проблемы сопряжения,
используя полученное выше решение линеаризованной проблемы. Для этого
требуется "жесткая" теорема о неявной функции (Hamilton [1982]). Методы
решения данной проблемы были развиты в работах Арнольда [1963b, 1965] и
Мозера [1962], а затем Riissman [1970]. Эта КАМ-теория включает в высшей
степени тонкий анализ, который мы здесь не приводим. Окончательный
результат этого анализа состоит в том, что можно найти такое гладкое
преобразование h, которое переводит отображение с иррациональным числом
вращения а, удовлетворяющим (6.2.26), и достаточно близкое к жесткому
вращению, в это жесткое вращение.
Для иллюстрации рассмотрим двухпараметрическое семейство вида
то = 1,2, ...,
(6.2.24)
1| > am - п ,
(6.2.25)
ТЪ с
а - 777 > -Д Г ДЛЯ всех (tm)ип>0.
ТО то(2+е)
(6.2.26)
(6.2.27)
где / имеет по х период 1, а | f(x, е)| < К\е\; см. Арнольд [1965].
Очевидно, при е = 0 мы получаем жесткое вращение с числом вращения а = р
+ 5, и
6.2. Числа вращений
377
если р + 6 рационально, имеются циклы из периодических точек. В типичной
ситуации в пространстве (е, 5) существуют открытые множества (малые
"клинья"), для которых p(Fgt е) рационально и постоянно, a Fgt ? имеет
гиперболические периодические точки. Однако, как показал Арнольд, если р
+ 5 удовлетворяет (5.2.26), то существует кривая 6(e), 5(0) = 5 такая,
что для достаточно малых е отображение -F^O), е топологически
эквивалентно жесткому вращению R^+s- Следовательно, каждый малый
резонансный клин в пространстве (е, 5) отделен от соседних клиньев
некоторой кривой, состоящей из отображений с иррациональным числом
вращения р.
УПРАЖНЕНИЕ 6.2.7 (Арнольд [1965]). Рассмотрите семейство
ffi, е '¦ х -" х + р + ? cos(27t;e), е ^ 0.
Покажите, что резонансный клин с числом p(ffl,a) = 1 ограничен кривыми р
= = ±|е|. Найдите вторую, а затем третью степень данного отображения,
полагая
р = ^ + 0(е2) и р = ^ + 0(е2) соответственно, и покажите, что резонансные
клинья, для которых = 1/2 и 1/3, ограничены кривыми
_ 1 I 2 7Г | 44/ Зч
Р 2 2 ^ '
и
1 . 2 \/Зт I Зх/Тл2 4.
М = 3 "6" "б- + ( )
соответственно. (Графики границ этих резонансных клиньев были построены
Арнольдом [1965].)
Последовательно применяя теорию возмущений к семейству, рассмотренному в
данном упражнении, можно показать, что резонансный клин, содержащий
системы с периодическими орбитами периода то, имеет ширину 0(ет). Таким
образом, фиксируя малое е > 0 и удаляя последовательно значения р в
каждом клине порядка то, мы получим на каждом шаге в остатке некоторый
набор интервалов, соответствующих отображениям, имеющим либо
иррациональные числа вращения, либо периодические орбиты периода > то.
Проводя этот процесс в предельном случае то -> оо, получим канторово
множество значений параметра, соответствующих системам с иррациональными
числами вращения. Так как удаляемое множество на каждом шаге убывает как
тет и тет -> 0 при то -> оо, то можно ожидать, что итоговое канторово
множество отображений с иррациональными числами p(F$tS) будет иметь
положительную меру Лебега (см. конструкцию в разделе 5.4). То, что это
действительно так, было доказано Арнольдом [1965] и в более общем виде
Негпап [1977].
Теперь мы наметим способ обобщения этого частного примера, включающий
второй главный результат о гладкости сопряжений. Этот результат
378
Глава 6
принадлежит Herman [1976, 1977], который значительно продвинул работы
Арнольда и Мозера, сняв требование о том, что рассматриваемые
диффеоморфизмы необходимо должны быть близкими к жесткому вращению.
Результаты о гладкости имеют чисто технический характер, однако они
играют существенную роль в тонких аспектах динамики однопараметрических
систем диффеоморфизмов на окружности. Если Д: S1 -> S1 - некоторое
однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, то функция р(А) = p{f\)
может много сказать об изменениях динамики. В целях наглядности сузим
рассмотрение на возрастающие семейства в том смысле, что из Ai < А2
следует, что /\г(х) < Д2(ж) для всех х <G S1. Herman установил ряд
свойств функции р(А), перечисленных ниже.
1) р(А) является неубывающей функцией.
2) Если р(Ао) = п/т рационально и f(tm)a{x) < х для некоторого х ? S1, то
существует Ai > Ао, с p(Xi) = р(Ао).
3) Мера Лебега множества тех А, для которых р(А) иррационально,
положительна при условии, что функция р{А) непостоянна.
Первое из этих свойств следует из топологических аргументов, подобных
представленным выше в данном разделе. Второе свойство следует из факта,
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed