Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
из которых имеет длину ((1 - ^)/2)" = 3_"; здесь величина 3_" играет
что d{f{x), f{y)) > s.
(5.8.5)
(5.8.6)
(5.8.7)
BE°ll
356
Глава 5
роль 6. Для вычисления хаусдорфовой размерности рассмотрим финальное
неравенство в ее определении, которое в данном случае имеет вид
2"(3-")" < е. (5.8.8)
Полагая п ¦ оо, мы приходим к определению наименьшего из таких чисел, что
lim (2"3~"") -ч- 0, или, в эквивалентной форме, п(1п 2 - a In 3) -> -оо.
п-> ОО
Отсюда имеем
а = in~i
в качестве верхней оценки для хаусдорфовой границы канторова множества. В
действительности, данная оценка является точной, но мы не будем
доказывать это.
Упражнение 5.8.4. Покажите, что емкость данного канторова множества также
равна 1п2/1пЗ. Найдите емкость и хаусдорфову размерность для канторова
множества, получаемого после отбрасывания средних частей относительной
длины (3 ? (0,1), а также для канторова множества, образованного
удалением на п-м шаге из каждого отрезка его части, имеющей относительную
длину /Зу", где у, /3 ? (0, 1) (см. разд. 5.4).
Эти топологические определения страдают тем недостатком, что типичная
траектория не обязательно приближается к аттрактору Л таким образом, что
существуют соответствующие пределы. Возможны также определения в терминах
теории меры, модифицирующие определения 5.8.3 и 5.8.4. Однако эти
"стандартные" определения более громоздки по форме, и переход от данных
здесь определений к стандартным нетривиален (см. Brin, Katok [1981],
Young [1982]).
Определение 5.8.5. Пусть р - инвариантная эргодическая вероятностная мера
для отображения /: R" -" R" с компактным носителем. Положим
V(x,e,n) = {у ? R" | d{f\x), f(y)) <е, 0 < i < п}.
Тогда для почти всех х по отношению к ц величина
lim lim inf { - ^ In/7,(П(.т, е, ??,))} = hJf)
е-?0 п-"оо 11
не зависит от х. Она называется ц-энтропией /. Хаусдорфова размерность р.
(обозначаемая как HD (/])) равна нижней грани хаусдорфовых размерностей
подмножеств Y С Rn, для которых p(Y) = 1.
В заключение заметим, что существуют видимые связи между понятиями:
показатели Ляпунова, энтропия и хаусдорфова размерность.
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
357
Теорема 5.8.2 (Young [1982]). Пусть f:M -а- М - С2-диффеоморфизм на
некоторой компактной поверхности М, р - эргодическая боре-левская
вероятностная мера с показателями Ляпунова \\ ,7 А2. Тогда HD (р) =
М/)(1/Л2 - 1/^1)' если только правая часть этого равенства не
представляет собой неопределенности вида 0/0.
Многомерные аналоги этой теоремы пока не доказаны. Примечательны здесь
гипотезы Yorke (Frederickson и др. [1982]) о размерности аттракторов.
Закончим примером, аналогичным предложенному Kaplan, Yorke [1979а] и
иллюстрирующему формулу, фигурирующую в теореме 5.8.2. Этот пример
относится к геометрической модели Лоренца, обсуждавшейся выше. Рассмотрим
отображение
F(x,y) = (/(ж), у(ж,у)), (5.8.10)
где
№ = {
2х + 1, же [-1, 0), 2х - 1, же (0,1],
ДУ + 2^ "А4)' х е [_1>°)> г
д{х,у) = { 0 < р < тт,
ДУ - ~ А4)* х е [°, Ч,
определенное на множестве X = Х+ U Х_. Здесь
Е_ = {(ж,у)|же(-1,0), 3/ G (-1,1)},
?+ = {{%, у) I х е (0,1), у е (-1, !)}•
(5.8.11)
Это отображение иллюстрируется рисунком 5.8.2. Заметим, что существуют
неустойчивые (седловые) точки при (ж,у) = (±1, Т^)- Хотя X
не отображается в свою внутренность, можно определить притягивающее
множество
А = Р| Fk(?),
k^0
как в предыдущих примерах, если заметить, что точки на границах ж = ±1
асимптотически приближаются к двум седлам, а точки, попадающие на ось ж =
0, исключаются из дальнейшего рассмотрения. Как и в разделе 5.7, мы можем
доказать, что А содержит плотную орбиту и, по построению, является
произведением канторова множества и горизонтального интервала [-1,1].
358
Глава 5
l+R
(-1,1/2)
1-Зд
2
2
1-Зд
1+Е
2
(1-1/2)
2
Рис. 5.8.2. Кусочно-линейное отображение лоренцева типа.
На каждой стадии построения канторова множества удалим из каждого
вертикального интервала его (1 - 2/г)-ю часть (с двух "концов" и
посередине). Таким образом, на п-и шаге множество |J Fn(T,) состо-
ит из 2" "горизонтальных" прямоугольников, каждый из которых имеет длину
2 и высоту 2/in. Таким образом, мы можем покрыть аттрактор N ~ 2П • 2/(2
• цп) = (2/ц)" квадратами диаметра 2 • /г". Используя определение
хаусдорфовой размерности 5.8.4, мы приходим, следовательно, к вычислению
нижней грани таких чисел а, для которых
lim [2" • ц"(" ^ • 2"] = 0 =>¦ lim [п In 2 + п(а - 1) In ц + a In 2] = -
оо.
п-"оо п-"оо
Это означает, что
причем в этом случае данная величина совпадает с емкостью. Заметим, что
она равна 1 + d, где d - хаусдорфова размерность канторовских множеств,
получаемых отбрасыванием средней части относительной длины (1 - 2ц) (см.
упражнение 5.8.4).
В данном примере производная
п
So (1Г(2АТ =0,
ИЛИ
(5.8.13)
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
359
постоянна, откуда получаем для показателей Ляпунова значения In 2 > 0 >
In ц, а для коэффициента сокращения площади при каждом применении
