Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
[1979], Neu [1979], Rand, Holmes [1980], Cohen et al. [1982], а также
раздел 1.8.
Пусть Sc T2 = S1 x S1 - сечение
S = {(0Ь02) | 0i = 0}. (6.2.7)
Рассмотрим отображение Пуанкаре P7: E ->¦ E, индуцированное потоком для
(6.2.6). Py есть диффеоморфизм окружности.
УПРАЖНЕНИЕ 6.2.3. Рассмотрим скалярное уравнение относительно ф = = 01 -
02:
ф = (1 - ш) - 2у sin 2-7Г ф,
6.2. Числа вращений
371
получаемое путем вычитания двух уравнений системы (6.2.6). Покажите, что
это уравнение можно решить точно, и используйте решение, чтобы показать,
что для 2у > (1 - ш) отображение Пуанкаре Н7 имеет две гиперболических
неподвижных точки. Затем покажите, что число вращения p(j) = 1 для 2у ^
(1 - ш). Опишите бифуркацию, имеющую место при 2у = (1 - ш).
Допустим теперь, что 2у < (1 - и>), при этом решение дифференциальных
уравнений (6.2.6) с базой (Д = 0, 6*2 = 0 имеет вид
01 (0 = f + о ((! + + \ arctg u(t)),
(6.2.8)
02(i) = | + \ ((1 + ^ " I arctS "(*)) '
где
u(t) = -^--(2y + atg(cnTt + c)),
1 - CJ
cr = i/(l -w)2 -4y2, а с определяется из формулы сг tg с = - (2у + (1 -
cj) tg(7T0)), так что
и(0) = -tg(7T0).
УПРАЖНЕНИЕ 6.2.4. Проверьте справедливость уравнений (6.2.8).
Точное решение (6.2.8) позволяет нам записать отображение Пуанкаре
так:
рт(0) = f + ! ((х + ~ Ь arctgM(T)) > (6.2.9)
где т - время, необходимое для изменения координаты 0\ от нуля до
единицы:
1 = I + \ (с1 + ^)Т + ^ arctgM(T)) • (6.2.10)
УПРАЖНЕНИЕ 6.2.5. Покажите, что Р7 не является жестким вращением, даже в
случае 2у < |1 - ш\. Можете ли вы найти сечение, для которого отображение
Пуанкаре будет при 2у < |1 - ш\ жестким вращением? (Подсказка: уравнения
(6.2.6) инвариантны сдвигу вдоль вi = 02 + const.)
Теперь вычислим для случая 2у < (1 - щ) число вращения р(Р7) = = р{7). Из
уравнений (6.2.9), (6.2.10) (и результата упражнения 6.2.1) имеем
372
Глава 6
где тп - корень уравнения
п = | + |((i +w)t" + ^ arctg и(т")). (6.2.12)
Пусть гг -> оо, тогда т" можно вычислить, взяв средний наклон
осциллирующей функции arctgи(тп). Величина arctg и(т) изменяется на -к за
такое время т71", за которое и(т) изменяется от - оо до +оо, что
соответствует изменению (сг7гт + с) от -тт/2 до п/2. Таким образом, т77 =
1/а. Мы получаем, что средний наклон функции arctgи(тп) есть тт/{1/а) =
ел, так что для больших п (и, следовательно, больших т") из (6.2.12)
находим т" = гг(2/(1 + со + сг)). Подставляя это значение в (6.2.11),
получаем
РЬ) = 1+UJ~a, (6.2.13)
1+cj + cr' v '
где сг было определено в (6.2.8). График числа вращения показан на
рисунке 6.2.1. Заметим, что хотя он непрерывен в точке 7 = (1 - ш)/2, он
недифференцируем в этой точке, причем р'{7) -> оо при 7 -> (1 -cj)/2 -0.
Таким образом, захват фазы типа 1 : 1 теряется при переходе значения 7
через точку (1 -cj)/2 в сторону уменьшения. Затем число вращения быстро
проходит бесконечно много рациональных и иррациональных значений и
стремится к со при 7^0.
2
Рис. 6.2.1. Число вращения для Р7.
Свойства, содержащиеся в предложениях 6.2.1-6.2.4, суммируют
топологические свойства гомеоморфизмов окружности. В некотором смысле,
жесткое вращение предоставляет модель для асимптотического поведения
любой траектории. Если p(f) рационально, то все траектории отображения /
асимптотически периодичны, а если p( f) иррационально, то имеются
траектории с тем же самым порядком, что и траектории отображения Ra,
6.2. Числа вращений
373
где а = p(f). Однако мы хотели бы пойти далее этих общих свойств
гомеоморфизмов и получить информацию, связанную с гладкостью отображения
/. Сначала сфокусируем внимание на свойствах диффеоморфизма с
иррациональным числом вращения.
Пусть / - диффеоморфизм, для которого число p(f) = а иррационально, и
пусть х € Si. Как было показано выше, функция h, определенная на
траектории точки х равенством h(fn(x)) = па (mod 1), сохраняет порядок
точек на окружности. Кроме того, множество {па (mod 1)} плотно на
окружности, так как а иррационально. Следовательно, h допускает
единственное продолжение до неубывающей функции на окружности. В явной
форме мы имеем
h(y) = lim ^ (мощность {к 0 ^ к < п и fk(x) ? \х7у)}). (6.2.14)
Т1 -> оо
УПРАЖНЕНИЕ 6.2.6. При помощи данного определения проверьте, что если у =
fn(x), то h(y) = па (mod 1). Для этого покажите, что h(f(y)) = = h(y) + a
(mod 1).
Мы хотим теперь узнать, является ли определенное выше отображение h
гомеоморфизмом, так как в этом случае оно осуществляет топологическое
сопряжение / с жестким вращением Ra. Ответ на данный вопрос определяется
тем, будут ли /-траектории точек плотны в S1. Так как ща ф П2а (mod 1)
для щ ф П2, то h(fni(x) ф h(fn2(x)) для всех п\ ф П2- Если каждая пара
точек из Si разделяется точками траектории для х, то h есть гомеоморфизм.
Если h - не гомеоморфизм, то будет существовать значение х, для которого
h~1(x) представляет собой некоторую замкнутую дугу I. Если это так, то h
постоянно на /"(/) и принимает разные значения на fni{I) и /"2(/) при щ ф
