Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
взаимно сингулярны: множества полной меры для рр имеют нулевую меру для
рр>, если р' ^ р. Тем не менее, эти меры эр-годичны: не существует такого
множества Е, что и это множество, и его дополнение имеют положительную
меру и инвариантны относительно а. Энтропии мер рр также различаются.
Энтропия р интуитивно определяется как максимум ожидаемого увеличения
информации (по отношению к некоторому разбиению) за счет задания одной
дополнительной точки на некоторой типичной траектории. Точное определение
энтропии будет дано ниже. Используя вероятностную интерпретацию рр как
независимые броски монеты, получим, что каждая дополнительная точка
траектории добавляет одинаковое количество информации, равное - (plnp + q
In q).
Покажем, что все меры рр имеют некоторое отношения к динамике, на
следующем примере кусочно-линейной модификации отображения подковы /: S -
> М2. В этом модифицированном отображении коэффициент вертикального
растяжения 7 предполагается разным для двух компонент области f~1(S) П S
(см. раздел 5.1), а коэффициент горизонтального
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
351
% 1 ш, А 1
1 ш /// VA 'Ш ш У/, У/,
^х-
Рис. 5.8.1. Неровная подкова.
сжатия Л остается тем же самым. Если эти два коэффициента растяжения
равны 7i и 72, то высоты соответствующих горизонтальных полос Hi и Н2
равны и (см. рис. 5.8.1). Если задать некоторую конечную
последовательность символов а-т ... а-\а$а\... ап, то площадь
прямоугольника
Ra= П
равна Am7! fc72 ^"+1 к\ где к - число единиц среди а0, площадь этих
прямоугольников равна А^Ду^-1 + 7^~1)"+1: прямоугольника Ra составляет
.., ап. Общая поэтому доля
п+1-к к
7i 7г
(7Г1 + 72_1)"+1 (71 + 72)"+1 Wi + 72
7i
;
n+1 - к
72
71 + 72
Таким образом, описанная выше мера с параметром р = 72/(71 + 72)
присваивает этим последовательностям а массу, равную доле площади
прямоугольника Ra в общей площади \jRb, где объединение берется по всем
конечным последовательностям b = {bi}f=_m-
Используя разбиения Маркова, инвариантные меры на любом инвариантном
гиперболическом множестве можно изучать в терминах мер, инвариантных
подсдвигам конечного типа. Как мы уже видели для полного сдвига,
подсдвиги конечного типа обладают большим числом инвариантных мер,
которые заметно отличаются одна от другой. Тем не менее, существует одна
особая инвариантная мера для гиперболического аттрактора А, которая
выделяется своей динамической связью с мерой Лебега. Для ее
352
Глава 5
описания обсудим вначале понятие типичного поведения траекторий,
приближающихся к А. Здесь "типичное" понимается в смысле "для почти всех
по мере Лебега начальных условий". Один из способов измерения
асимптотического поведения типичной траектории состоит в рассмотрении ее
среднего по времени.
Определение 5.8.1. Пусть дискретная динамическая система определяется
отображением /: R" -> R", а д: R" -> R - некоторая вещественнозначная
функция. Среднее по времени от g на (направленной вперед) траектории,
исходящей из точки х, равно
ЛГ-1
г=0
если данный предел существует. Для непрерывного потока ^: Rn -" Rn
среднее по времени от (направленной вперед) траектории равно
т
tALT /9{<t>t(x))dt.
о
Справедливо следующее утверждение (см. Bowen, Ruelle [1975]).
Теорема 5.8.1 (Sinai-Ruelle-Bowen). Пусть <ftt: R" -> R" - поток класса
С2, обладающий гиперболическим аттрактором А. Тогда существует
единственная мера с носителем А и следующим свойством', если U - такая
окрестность А, что <fit(U) С U для всех t ^ to, А = Р|
t^o
a g - непрерывная функция, то для почти всех (по отношению к мере Лебега)
х <G U
т
t'ALT J 9{4>t{x))dt = J gdp. (5.8.2)
О A
Если /: Rn -" Rn определяет дискретную систему, то справедлива
аналогичная теорема, где
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
353
Мера, удовлетворяющая равенству (5.8.2), называется асимптотической
мерой.
Мера ц, фигурирующая в теореме 5.8.1, обладает свойствами, аналогичными
описанному выше примеру модифицированной подковы. Зафиксируем малое
положительное число е и некоторое марковское разбиение аттрактора А для
дискретной системы /: R" -> R". Для множества R С А определим V(R) как n-
мерную лебеговскую меру на (J Wf(x)). Значение
x?R
этой меры на множестве Ra, состоящем из точек с данной конечной
последовательностью символов а-т ... a-idQdi . .. dn, приблизительно
пропорционально отношению объемов множеств Ra и А.
Объемы V{Ra) тесно связаны с понятием показателей Ляпунова потока,
определенным ниже. Относительный объем V(Ra)/V(A) определяется как
коэффициент растяжения касательных векторов вдоль неустойчивого
многообразия множества А. Грубо говоря, fn(Ra) перемещается через элемент
а" разбиения Маркова в неустойчивом направлении. Поэтому относительный
размер V(Ra)/V(Ran) аппроксимируется величиной det(Dfn/Wu) производной,
вычисленной в некоторой точке из Ra. При п -ч- оо отображения Df" на
неустойчивых подпространствах экспоненциально растут. Скорость растяжения
