Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
фен "восьмерке". Напротив, если /-траектории точек ^ не обрываются в
нуле, то хребет некомпактен и односвязен. Таким образом, геометрический
аттрактор Лоренца не является структурно устойчивым. Имеющие компактный
корешок аттракторы, так же, как и не имеющие его, плотны в некотором
открытом множестве векторных полей, определяющих эти потоки1.
Мы вернемся к уравнениям Лоренца ниже, в разделе 6.4 при рассмотрении
последовательности бифуркаций, приводящей к рождению аттрактора.
5.8. Статистические свойства: размерность, энтропия и показатели
Ляпунова
Предыдущие разделы могли создать впечатление, что полное качественное
описание динамики многих нелинейных осцилляторов представляет собой
непосильную задачу, решение которой лежит за пределами наших
возможностей. В данном заключительном разделе мы встаем на вероятностную
точку зрения, которая связана с меньшими требованиями и потому применима
к задачам в весьма общей постановке. Мы позволим себе игнорировать
исключительные траектории в поисках типичных свойств, присущих системе.
Необходимость количественного различения исключительного и типичного
вынуждает нас существенно опираться на понятие меры. Поэтому данный
раздел более абстрактен, чем остальная часть книги, и требует большей
математической базы. Более того, представленный здесь предмет - гладкая
эргодическая теория - достаточно обширен, и здесь возможно лишь краткое
его представление. Эта теория быстро развивается, и попытки применить ее
к конкретным примерам типа описанных в этой книге многообещающи. Заметим,
что главы 6 и 7 можно читать неза-
1См. Афраймович, Быков, Шильников [22] и Афраймович, Шильников [23]. -
Прим. ред.
5.8. РАЗМЕРНОСТЬ, ЭНТРОПИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
349
висимо от данного раздела. Базовая информация об эргодической теории с
точки зрения динамических систем содержится в книге Корнфельда и др.
[1982], а также в более коротких заметках Синая [1976].
Пусть f:X -> X - некоторое отображение метрического пространства X.
Инвариантная мера р для / определяется как (борелевская) мера, обладающая
свойством p(f~1{A)) = р(А) для всех (борелевских) множеств А.
Инвариантные меры являются математическими объектами, описывающими
количественные свойства динамических систем, генерируемых отображением /.
Вероятностная мера р характеризуется равенством р(Х) = 1.
Ниже приведено несколько примеров инвариантных вероятностных
мер:
a) Если р - периодическая точка / периода п, то мера, сопоставляющая
каждой точке орбиты р массу 1 /п, является инвариантной вероятностной
мерой.
b) Если /: [0,1] -> [0,1] - отображение вида f(x) = 2х mod2:r, то мера
Лебега dx является инвариантной вероятностной мерой.
c) Если /: [0,1] -> [0,1] определено формулой f(x) = 4а;(1 - х), то мера
dx/^Jx{\ - х) инвариантна (см. раздел 5.6).
Упражнение 5.8.1. Покажите, что отображение типа "шатер"
определенное в интервале I - [0,1], сохраняет меру Лебега.
УПРАЖНЕНИЕ 5.8.2. Покажите, что если отображение /: Rn -* Rn гладкое и
каждая точка образа имеет конечное число прообразов, ap - h(x)dx -
некоторая гладкая мера, то р инвариантна тогда и только тогда, когда
В частности, мера Лебега инвариантна относительно диффеоморфизма / тогда
и только тогда, когда | det(B/)| = 1 (сохранение объема).
Изучим теперь более подробно подкову, чтобы проиллюстрировать возможности
использования инвариантных мер для описания количественных свойств
динамической системы. В целях удобства вычислений проще использовать
символическое представление подковы как сдвига и описывать
2х, если х € [0,1/2],
2 - 2х, если ж € [1/2,1],
350
Глава 5
инвариантные меры для отображения сдвига а: Е -> Е, где Е - символическое
пространство бесконечных в обе стороны последовательностей из 1 и 2. Один
из классов инвариантных мер на Е ассоциируется с нечестным подбрасыванием
монеты. Пусть 1 выпадает с вероятностью р, а 2 - с вероятностью q = 1 -
р. На Е можно определить инвариантную меру р = рр, задавая ее значения на
множествах Ei = {а | а0 = 1} и Е2 = {а | а0 = 2} и требуя независимость
(в вероятностном смысле) бросков монеты. Таким образом, Еi соответствует
тому, что результат *-го броска равен г, положим /i(Ei) = р, ц(Е2) = q.
Из инвариантности р следует, что /т(сг_:'(Е*)) = = /i(Ej) для всех целых
у. Здесь /i(cr_:'(Ej)) представляет собой множество последовательностей,
для которых j-й бросок имеет результат г. Независимость сводится к
утверждению, что для любой последовательности b ? Е и целых к, I
где а и /3 - количество единиц и двоек соответственно среди {bj}lj=k.
Таким образом, вероятность совместного появления результатов различных
бросков равна произведению вероятностей результатов индивидуальных
бросков.
Меры рр сильно различаются по своим свойствам. Как следует из центральной
предельной теоремы, почти все последовательности обладают тем свойством,
что с ростом длины конечного блока относительные частоты единиц и двоек в
этом блоке стремятся к р и q соответственно. Следовательно, меры рр
