Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
362
Глава 6
ч
ч
(а)
(b)
(с)
Рис. 6.1.1. Потоки уравнения (6.1.1): (а) ц < 0; (Ь) ц = 0; (с) ц > 0.
переходить от значений х = +оо к х = -оо. Если ц > 0, сепаратриса точки
pi лежит справа от сепаратрисы точки р2, и траектории с ростом времени
могут переходить от значений х = - оо к х = +оо. Ясно, что предельное
поведение некоторых орбит изменяется.
Пересечение сепаратрис седел можно ассоциировать с другими изменениями
качественных свойств потока. Простейшая ситуация возникает для плоских
потоков, где существование седловых петель ассоциируется с появлением и
исчезновением периодических орбит.
Рассмотрим следующий пример:
Если ц = 0, система бездивергентна и обладает первым интегралом
Начало координат является седловой точкой, для которой две сепаратрисы
совпадают и образуют петлю у. Внутренность у заполнена семейством
замкнутых орбит, см. рисунок 6Л .2.
УПРАЖНЕНИЕ 6.1.2. Проверьте вышеприведенные фазовые портреты при ц ф 0.
(Подсказка: вычислите дивергенцию; воспользуйтесь методом Мельникова.)
X = у,
у = х - X2 + fiy.
(6.1.2)
(6.1.3)
6.1. Седловые соединения
363
У
(а)
(Ь)
(с)
Рис. 6.1.2. Фазовые портреты для уравнения (6.1.2): (а) д < 0; (Ь) д = 0;
(с) д > 0.
Данная ситуация структурно неустойчива, так как наиболее вырожденные
периодические орбиты, которые можно ожидать встретить в
однопараметрическом семействе, - это изолированные седло-узлы. Тем не
менее, данный пример показывает, что седловые петли ассоциируются с
периодическими орбитами.
Из вырожденности уравнений (6.1.2) (дивергенция равна нулю1) следует, что
для седловой точки седловая величина равна нулю. (На самом деле, в данном
случае система гамильтонова.) Если мы модифицируем этот пример к виду
где а ф 0, то при д = 0 уже не получим седловой петли. При а > 0 седловая
петля имеет место при д < 0, причем седловая точка имеет отрицательную
седловую величину.
УПРАЖНЕНИЕ 6.1.3. Проверьте это утверждение и при помощи метода
Мельникова найдите линию, проходящую через начало координат на плоскости
(д, а), касающуюся множества гомоклинической бифуркации для уравнения
(6.1.4). (Подсказка: положите д = ед, а = еа, где е близко к нулю.)
Следующая теорема2 предоставляет нам характеристику периодических орбит,
которые можно найти вблизи таких невырожденных бифуркаций коразмерности
один.
Теорема 6.1.1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = f(x, д);
х ? R2, д ? R, для которой выполнены следующие условия:
х = у,
у = х - х2 + ду + аху,
(6.1.4)
1 При д = 0. - Прии. ред. перев.
2См. Анронов, Леонтович, Гордон, Майер [1967]. - Прим. ред. перев.
364
Глава 6
1) При /1 = ро существует гиперболическая седловая точка ро и гомо-
клиническая орбита (седловая петля) уо С Wu(po) U W8(po). Пусть Q Ф Ро -
некоторая точка, лежащая на 70.
2) Пусть М - одномерное сечение, трансверсальное к 70 в точке q. Пусть I
= [ро-е, ро+е] - некоторый интервал в пространстве параметров. Обозначим
рм = р{р) кривую седловых точек, существующих при различных значениях р,
гдер(ро) = ро. Пусть и(р), s(p) - гладкие кривые в М2 хЖ, содержащиеся в
(М х Г)иШи(рД и в (М y.I){JWs (рД соответственно. Допустим, что
(d/dp)(u(p) - s(p)) ф 0 при р = ро.
3) При р = ро имеем tr [Df(po)} < О (соответственно, > 0). Тогда
существует семейство Г устойчивых (соответственно, неустойчивых)
периодических орбит в пространстве (х, р) системы х = f(x, р), замыкание
которого содержит 70 х {/го}- Периоды этих орбит неогра-ничены при р ->
ро- Существует близкое к нулю значение е (возможно, отрицательное) такое,
что если р лежит в интервале между ро и ро + е, то система х = f(x,p)
имеет ровно одну периодическую орбиту из семейства Г (см. рис. 6.1.3).
Доказательство. Доказательство этой теоремы формулируется в терминах
отображения возврата для сечения М. Мы рассмотрим лишь устойчивый случай,
так как в неустойчивом случае доказательство такое же.
Так как М трансверсально вектору f(xо, ро) в точке q = П70, ограничивая
внимание достаточно малой окрестностью точки (q,po), мы можем допустить,
что в ней f(x, р) везде трансверсально к М. Петля у0 = 7oU{po} имеет
угловую точку ро, касательные в которой указывают направления устойчивого
и неустойчивого собственных векторов в ро- Некоторые из орбит, близкие к
70, могут покидать ее окрестность при t -> ±00, как показано на рисунке
6.1.3(c). Чтобы исключить такие орбиты, мы определим отображение возврата
РМо лишь на той части М, которая лежит внутри у0. Орбиты, начинающиеся
вблизи 70 с этой стороны, проходят мимо ро и остаются близкими к 70 (см.
рис. 6.1.3).
Если р = ро, то поскольку траектории внутри 70 проходят мимо ро, они
строго притягиваются к 70. Введем в окрестности точки ро координаты (х,
у) таким образом, чтобы локальные устойчивое и неустойчивое многообразия
были осями координат. Допустим, что собственные значения матрицы Df(po)
равны -а и /3, где а > /3 > 0. Выберем <3 так, чтобы 1 > 5 > (3/а. Тогда
для достаточно малых (х,у) будем иметь \dy/dx\ = = \у((3 + .. .)/х(-а +
