Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
компоненты. Горизонтальные координаты точек определяются элементами ai
для i ^ 0, а вертикальные координаты - для i < 0. Однако, в отличие от
подковы, не всем символическим последовательностям сопоставляются точки
А. Например, поскольку /fc(r_) > 0 для некоторого к, должно существовать
некоторое целое число к такое, что что ни одна из точек а не содержит
набора из к последовательных нулей в своей символической
последовательности. Может даже случиться так, что множество символических
последовательностей, составленных для точек А, не образует подсдвига
конечного типа. Мы отложим дальнейшее рассмотрение этих вопросов до
раздела 6.4, где обсуждаются бифуркации системы Лоренца.
Для описания топологии множества А мы по-прежнему должны рассмотреть те
траектории, которые оканчиваются в D, и особенно те, которые начинаются в
точках (r^, 7Т) = lim F(u, v) на границе V. Главным свой-
и->± О
ством траекторий, оканчивающихся в D, является то, что они служат
"клеем", соединяющим те точки из А, чьи символические последовательности
совпадают при i < 0. Это проще увидеть, рассмотрев вначале несколько иное
отображение G: V - D -> V, кусочно-линейное по у. Зададим G требованием
а параметры 0 < а < 1/2 и /3 выбираются так, что G взаимно однозначно
(см. рис. 5.7.4).
п^О
G(u,v) = (f((u),hu(i0),
где
и > 0, и < 0,
(5.7.3)
346
Глава 5
^0 G(V0)~y
X//////////////////////////////////
V/////////////////////////////////////z
и/////////////////////////////////////
//////////////////////////////////>
0(уУ
Рис. 5.7.4. Кусочно-линейное отображение G. Четыре заштрихованных полосы
- это G2(V).
Разбивая V на множества Vo = {(и, v) \ г~ < и < 0} и Vi = = {(м,г>) | 0 ^
и < г+} и используя установленные выше свойства /, приходим к выводу, что
Gn(V) состоит из некоторого числа прямоугольников (не каждый из которых
обязательно занимает по ширине все множество Vo или Vi). Кроме того,
множество Г = р| Gn(V) будет являться
аттрактором для V и состоять из горизонтальных сегментов.
УПРАЖНЕНИЕ 5.7.3. Докажите по индукции, что всякая горизонтальная прямая,
пересекающая Gn(V), пересекает Gn(V) по некоторому сегменту.
Что касается разбиения множества V на Vo и Vi, то единственными
символическими последовательностями не обладают те точки, чьи траектории
оканчиваются на D. Если (ui, v) и (112, v) имеют для G символические
последовательности а и b такие, что а* = G при i < п, но ап Ьп, то на
сегменте, соединяющем (u\,v) и (v,2,v), найдется точка (мз,г>) такая, что
Gn{uz, v) е D.
УПРАЖНЕНИЕ 5.7.4. Сформулируйте и докажите свойства F, аналогичные
полученным выше для G.
Главное качественное различие между аттракторами Г для G иА для F связано
с их вертикальными "концами". Топологически, А можно получить из Г
посредством соединения вдоль вертикали всех точек, лежащих на образе
вертикального сегмента (Gn(u,v) | и = У}. Поэтому множество А, грубо
говоря, состоит из несчетного множества сегментов, каждый из которых
трансверсален вертикальному направлению в V. Эти сегменты из Л связаны за
концы в пучки таким способом, который диктуется траекториями точек У
одномерного отображения /.
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
347
Рис. 5.7.5. Геометрический поток Лоренца.
Наконец, желательно получить из А портрет аттрактора для геометрического
потока Лоренца. Эта процедура состоит в построении надстроенного потока
при учете наличия сингулярной точки р, принадлежащей аттрактору.
Рассмотрим тело, изображенное на рисунке 5.7.5 и ограниченное сверху
поверхностью V. Мы определим на этом теле линейный поток с подходящими
собственными значениями в точке р и линией D, содержащейся в устойчивом
многообразии точки р. Этот поток касается криволинейных поверхностей,
ограничивающих тело, а также расположенного внизу сегмента. На передней и
задней поверхностях поток направлен внутрь тела, причем траектории
исходят из вертикальных торцов. Эти исходящие траектории заворачиваются
таким образом, что F оказывается отображением возврата на V. При таком
описании потока геометрический аттрактор Лоренца будет объединением
траекторий, проходящих через А С V, а также точки р. Локально этот
аттрактор выглядит как канторова книжка: семейство поверхностей,
параметризованных при помощи некоторого канторо-вого множества и сшитых
вдоль некоторой кривой. Эта кривая (корешок книжки) является неустойчивым
многообразием для р, см. рисунок 5.7.6.
В заключение данного раздела обсудим более точно замечание о структурной
устойчивости, приведенное в конце раздела 2.3. Заметим, что корешок
геометрического аттрактора Лоренца должен сохраняться при гомеоморфизмах.
Поскольку прообразы /_га(0) плотны на (г~,г+), то за счет произвольно
малых исправлений отображения / можно добиться того, что /-траектории
точек /¦ обрываются в нуле. При этом внутри аттрактора будут существовать
гомоклинические траектории, и хребет Wu (р) гомеомор-
348
Глава 5
Рис. 5.7.6. Локальная структура геометрического аттрактора Лоренца.
