Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
- оо
где мы положили а^ = 1р^.
Аналогичными формулами для замкнутых струн являются
оо
д_ХЪ = Х$ = 1 Z с&Г2"г(т-°), (2.1.58)
d+Xl = J&. = lfl с&Г2,'я(т+а).
- оо
(2.1.59)
2.1. Классическая бозонная струна
85
Важное отличие в этом случае состоит в том, что моды, движущиеся вправо и
влево, независимы. Кроме того, для замкнутой
струны а%= а'? = -^-1р>1 и имеется дополнительный множитель
два в показателях экспонент.
Перейдем теперь к описанию D-мерной пуанкаре-инвариант-ности. Так как
преобразования Пуанкаре ЬХ^ = йуХ'1Ь^~ с точки зрения двумерной теории
являются просто преобразованиями глобальной симметрии, то они связаны с
сохраняющимися "нётеровскнми токами". В теории поля существует
стандартная процедура, известная как "нётеровский метод", для построения
сохраняющегося тока Ja, связанного с преобразованиями глобальной
симметрии: <р(ст)->-<р(ст) + ебф(ст), где ср(ст) - любое поле в теории, а
е - постоянный бесконечно малый параметр. Рассматривается также
преобразование
Ф (<т)-> Ф (ст) + е(ст) бф(ст), (2.1.60)
где е - бесконечно малый параметр, не являющийся постоянным на мировой
поверхности. Действие не инвариантно относительно таких преобразований
для произвольной функции е, так как рассматриваемая нами симметрия
является только глобальной симметрией. Так как для постоянного е оно было
бы инвариантным, его вариация пропорциональна производной от е и в общем
виде выглядит так:
6S = ^d2eJadae, (2.1.61)
где Ja - некоторый ток. Ток, определенный таким образом, всегда
сохраняется, если выполнены уравнения движения. Действительно, выполнение
уравнений движения означает, что действие стационарно при любой вариации,
и в частности, при вариации вида (2.1.60). Итак, при выполнении уравнений
движения вариация 65 в формуле (2.1.61) равна нулю для любого е. Это
возможно, если только daJa = 0.
Этот метод можно непосредственно применить к выводу выражений для
сохраняющихся токов, связанных с преобразованиями Пуанкаре функции
Р" = ТдаХ]Х, (2.1.62)
/Г = Т {ХцдаХу - X'daX"). (2.1,63>
Здесь Ра - ток, связанный с трансляционной инвариантностью, тогда как ток
/{Г связан с лоренц-инвариантностью. Сохранение тока означает, что
<ЗаРац = daJa,xv = 0. (2.1,64>
86
2. Свободные бозонные струны
Эти токи описывают плотность D-мерных импульса и углового момента на
двумерной мировой поверхности. Импульс, протекающий через произвольный
линейный сегмент на мировой поверхности (do,dx), дается формулой
dP" = P'tdo + P^dx, (2.1.65)
так что из граничных условий на концах открытой струны (2.1.32)
действительно следует, что отток импульса из этих концов отсутствует.
Аналогичное утверждение имеет место и для тока углового момента J?v.
Полные сохраняющиеся импульс и угловой момент струны находятся
интегрированием выражений (2.1.62) и (2.1.63) по а при т = 0. Например,
полный импульс замкнутой струны дается формулой
P'1 = T^da dX^a)- = яГ (/с# + laf) = рц, (2.1.66)
о
т. е. полный импульс струны совпадает с "импульсом" pv- нулевой моды.
Это имеет место также и для открытой струны. Формула для
полного углового момента запишется в следующем
виде:
Я
jw = T^do(x*(2.1.67)
о
Подставляя разложение по модам, получим
7мл- = zm-v _|_ ?мд- (2.1.68)
для открытых струн и
= г + + Е*4 (2.1.69)
для замкнутых струн, где
ZM'V = хи pv - xvp'1, (2.1.70)
E"v = - i ? 1 (a^ - a1na$ (2.1.71)
1
n - l
и точно такое же выражение для ?МЛ' через моды ай. Хотя мы получили
выражения для полных импульса и углового момента струны, проинтегрировав
сохраняющиеся токи по а при -г = 0, сохранение тока означает, что мы
получили бы тот же
2.1. Классическая бозонная струна
87
результат, интегрируя по любой пространственно-подобной кривой, которая
только один раз пересекает мировую поверхность струны.
В качестве примера, демонстрирующего использование этих формул, докажем,
что Т действительно является натяжением струны. Рассмотрим замкнутую
струну, которая в момент времени / = 0 находится в покое и имеет форму
окружности радиусом R в плоскости (х,у), как это изображено на рис. 2.3,
а. Пусть ст при т = ^ = 0 пропорциональна длине дуги струны:
x = Rcos2a, y = Rsin2a. (2.1.72)
Тогда нетрудно увидеть, что уравнения движения (2.1.30) и уравнения
связей (2.1.38) и (2.1.39) выполняются, если предположить, что t - 2Rx
около точки т = / = 0. Из (2.1.62) следует,
У.
6) Саг
Рис. 2.3. На рис. а схематически изображена замкнутая струна радиуса Я,.
находящаяся в начальный момент в состоянии покоя. На рис. b показана
открытая струна, закручивающаяся в плоскости х - у.
что р° = 2nRT; это подтверждает, что Т является энергией на единицу длины
струны.
Другим примером служит доказательство того, что на классическом уровне
а'=1/(2лТ) является наклоном реджевской траектории для открытых струн.
Наклон реджевской траектории определяется как максимально возможный
угловой момент на единицу квадрата энергии. Для открытых струн угловой
момент на единицу квадрата энергии становится максимальным для струны,
