Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
нулю; если они обращаются в нуль в некоторый момент времени, то они
останутся такими же и во все последующие моменты.
Комментарий, который был приведен в конце предыдущего раздела, относится
к любой двумерной конформно-инвариантной теории. В случае теории струны
рассматриваемые сохраняющиеся величины соответствуют остаточной
симметрии, которая присутствует и после фиксации калибровки. Как обычно,
выбирая ковариантную калибровку /i"P=n0!P, мы полностью используем
имеющуюся калибровочную свободу. Чтобы увидеть
Ф Ь)
Рис. 2.2. Одномерное компактное многообразие может обладать двумя
топологиями, соответствующие замкнутым (а) или открытым (Ь) струнам.
это, заметим (воспользовавшись (2.1.19) и (2.1.20)), что любая комбинация
репараметризации и вейлевского изменения масштаба, для которой
dat + dh,a = ATlap, (2.1.44)
сохраняет выбор калибровки. В терминах комбинации 1* = = (Е° ± V) это
означает, что |+ может быть произвольной функцией сг+= (т + сг), а -
произвольной функцией о~ = = (т- а). Если считать, что репараметризация
мировой поверхности 6а"==?а генерируется оператором V = ?,ад/доа, то
генераторами преобразований остаточной симметрии являются
V+ = 1+ {а+)д/да+, = Г {о~)д/до~. (2.1.45)
В следующем разделе эта остаточная симметрия будет использоваться для
введения калибровки светового конуса. Взяв f+ ~ |+) Мы установим, что
сохраняющиеся заряды, найденные в предыдущем разделе, генерируются
операторами (2.1.45). Эти операторы являются генераторами группы
конформных преобразований двумерного пространства Минковского; только в
дву-мерии конформная группа бесконечномерна.
Мы должны рассмотреть два типа граничных условий, соответствующих
замкнутым и открытым струнам, изображенным на рис. 2.2. Замкнутые струны
являются петлями без свободных концов, топологически эквивалентными
окружности. Они изображены на рис. 2.2, а. Для них подходящим граничным
2.1. Классическая бозонная струна
83
условием является периодичность по координатам
Х^т, сг) = Х*1(т, сг + я).
(2.1.46)
Общим решением уравнения (2.1.33), удовлетворяющим требованию
периодичности, является
где - компоненты Фурье, которые будут интерпретироваться как координаты
осциллятора. В этих формулах была введена фундаментальная длина,
обозначенная буквой /. Она связана с а' и с натяжением струны Т (в
единицах Ь - с= 1) следующим образом:
В дальнейшем фундаментальная длина будет положена равной единице. Что же
касается х^- и р^, то они могут быть проинтерпретированы как положение
центра масс и импульс струны. Нормировочные константы в (2.1.47) и
(2.1.48) выбраны для удобства в дальнейшем. Отметим, что члены, линейные
по а, в сумме Хй = Х? + Хя пропадают, так что граничное условие для
замкнутой струны действительно выполняется. Требование вещественности
функций Хя и Хь приводит к тому, что хй и являются вещественными, а
коэффициент аР_п - сопряженным к коэффициенту а?, т. е.
Также важно определить скобки Пуассона для а". Чтобы сделать это,
заметим, что скобки Пуассона для Xи при равных временах т, следующие из
действия (2.1.29), имеют вид
Подставляя в.эти уравнения формулы (2.1.47) и (2.1.48), получаем скобки
Пуассона для коэффициентов а?:
1с?е-2'-"(г-а), уЛ.47)
п ф О
±йЦе-""(*+о), (2Л.48)
п ФО
/ = V2а' = l/д/пТ .
(2.1.49)
(2.1.50)
[X", Xv(cr')]c.n.= [^(ff)> *>')]с.п. = 0> (2.1.51)
[Xй (a), Xv (а')]с. п. = ~ °') *Г- (2-1 -52)
(2.1.53)
84
2. Свободные бозонные струны
(Мнимая единица i исчезнет, как только мы заменим скобки Пуассона
коммутаторами.) Таким образом, моды фурье-разло-жения а? при п~-фЬ
являются координатами гармонического осциллятора, как и можно было бы
ожидать, исходя из нашего опыта, связанного с другими теориями свободных
полей, или даже из нашего опыта описания скрипичных струн. Формулы
(2.1.53) остаются справедливыми и при /г = 0 или пг = 0, если
воспользоваться удобным обозначением ajj' = ct|J' = -|-/p>*. Из
(2.1.47), (2.1.48) и (2.1.52) получаем скобки Пуассона
*v]c.n. = Tl,*v> (2.1.54)
так что, как и следовало ожидать, положение центра масс и импульс струны
являются канонически сопряженными величинами.
Для открытых струн, изображенных на рис. 2.2, Ь, анализ
аналогичен, за тем исключением, что в этом случае необходимо
определить правильные граничные условия на концах струны, о = 0, я.
Требуя, чтобы граничные члены (2.1.32), возникающие при вариации
действия, обращались в нуль, мы приходим к граничным условиям для
открытой струны
х'^ = 0 для сг = 0 и сг = я, (2.1.55)
означающим, что нормальная производная от функции Х^ должна зануляться на
концах струны. Это - "свободные граничные условия", препятствующие оттоку
импульса через концы струны. Общее решение волнового уравнения с такими
граничными условиями дается формулой
X" (о, т) = + I2р^т: + И ^ а%е~'пх cos по. (2.1.56)
п ФО
Граничные условия для открытой струны вынуждают компоненты струны,
движущиеся вправо и влево, комбинироваться в стоячие волны. В частности,
оо
2д±X* = X* ± Х'* = I Z с&Г''п(г±0), (2.1.57)
