Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования
генерируемые G1/2, относительно которых d\хм-1м тоже инвариантно, что
прямо следует из замкнутости алгебры OSp(l|2).
Рассмотрим теперь более содержательный случай, когда рассеивается М
безмассовых векторных частиц. Поскольку без-массовый вектор удовлетворяет
условиям GSO, то такой процесс уже имеет прямое отношение к физике.
Представив опять вершинные операторы в виде экспонент, линейных по всем
¦осцилляторам, мы получим формулы вполне обозримого уровня сложности и
легко считаемые. Для вертекса V(?, k) из (7.3.25) такое представление
имеет вид
^(s, k> У) =
= ^ dq> ddexр (ik • X + 0cp? • Х/у + 0& • "Ф/л/у - ф? • VV#)- (7.3.34)
Точка, как обычно, обозначает производную по времени %(d/d%=
- iyd/dy), и введены две дополнительные грассмановы переменные.
Переменная 0 - это обычная суперкоордината на мировой поверхности, а у ф,
к сожалению, наглядной интерпретации нет.
Дальнейшее вычисление амплитуды производится с помощью тождеств
бУг = в;е, 60г = е,
(7.3.32)
tyi = г/А-т], 60г = г/гт],
(7.3.33)
(О | X" (уд Х%,)1у, | 0) = -тГ
У i У j
(7.3.35)
(7.3.36)
7.3. Суперструны в формулировке RNS
44S
из приложения 7.А и (7.3.27), (7.3.28). С помощью всех этих корреляторов
подынтегральное выражение в (7.3.23) приводится к виду
= 5 (П dBt) Д (yt - у, - FM (?, k, у, 0), (7.3.37)
так что суперсимметрия на мировой поверхности станет явной.
Явное вычисление интегралов по 0 и ф, хотя и не содержит принципиальных
трудностей, но приводит к чрезвычайно сложной комбинаторике. Кроме того,
в получающихся формулах происходят еще некоторые неожиданные взаимные
сокращения, представляющие собой не что иное, как напоминание о
существовании эквивалентной ^-формулировки, в которой два из множителей
V/y заменяются на W/л/у. Простейший пример, иллюстрирующий это
высказывание, дает нам трехвекторная вершина, при вычислении которой мы
обнаружили, что члены типа (k-%)3 в (7.1.57) и (7.1.58) взаимно
уничтожаются, и в итоге остается
Интересно отметить, что эта формула в отличие от случая бозонной струны
содержит в себе сразу, без каких-либо поправок порядка О (а'), правильную
вершину для теории Янга - Миллса. Что же касается амплитуды с М = 4, то
ее мы рассмотрим в разд. 7.4.2.
7.3.4. Древесные амплитуды с одной фермионной линией
Есть още один класс древесных амплитуд в струне RNS, которые могут быть
описаны без привлечения довольно сложного понятия вершины испускания
фермиона. Это амплитуды с толь-
v (?аг ^м' Ум) г q\ _ Ум
i < /
где
Ф<Ф/?'' - W/v'%k_Zf . (7.3.38)
У1 ~ У} (У1 ~ У if
Можно переписать это выражение и несколько иначе:
], (7.3.39)
А3 = gk2 • ^ • ?3 + перестановки.
(7.3.40)
444
7. Древесные амплитуды
ко двумя внешними фермионами и произвольным количеством М внешних
бозонов; их можно представить в виде диаграмм с распространяющейся от +
оо до -оо фермионной струной и бозонами, испускаемыми из той или иной
границы мировой поверхности, что представлено на рис. 7.11, а. Для
простоты мы детально рассмотрим лишь тот вариант, когда все частицы
испускаются из одного и того же конца струны, например при
-----*-*------ -х-х-*-х-и-
------х-*-х-------- --------------------
а) Ь)
Рис. 7.11. Испускание бозонов из фермионной струны, рис. а); на рис. Ь)
все бозоны испускаются нз одного и того же края мировой поверхности.
<г = 0, как изображено на рис. 7.11,6, но и общий случай нетрудно описать
с помощью вершинных операторов с ст = я, как объяснялось в разд. 7.1.6.
Древесная амплитуда для двух фермионов и М бозонов дается формулой
А2, м = <Ч>11 • • • srм I Ч>2>, (7.3.41)
где |г|н> и |г|)2> - фермионные физические состояния, удовлетворяющие
условиям /Г")г])>=0 при п ^ 0. Операторы W изображают испускание бозонных
состояний из фермионной струны. Пропагатор S представляет собой очевидное
обобщение дираковского пропагатора для частиц со спином 1/2. А именно,
поскольку волновое уравнение в нашей теории есть .Fo|'i|)> = 0, мы
положим
S = Fil = F0/L0. (7.3.42)
Для того чтобы проверить древесную унитарность в фермионных каналах, нам
надо убедиться, что все промежуточные фермионные полюсы удовлетворяют
дополнительным условиям с операторами Fn или Ln. (Для состояний,
аннигилируемых оператором F0, эти два набора эквивалентны, поскольку
{F0,Fn} = = 2Ln и [F0,Ln\ = - (n/2)Fn.)
Как и в (7.3.3), удобно определить вспомогательные вершинные операторы
V = {Fn, W). (7.3.43)
Как и раньше, мы потребуем, чтобы W имел конформную размерность 7
= 1/2, а V не зависел от п, что позволяет утверждать,
что V имеет конформную размерность / = 1. Дело здесь
7.3. Суперструны в формулировке RNS
445
не ограничивается одной лишь аналогией. Вся разница между ¦бозонным и
фермионным секторами суперструны заключена в граничных условиях, т. е. в
относительных значениях if (а, т) в точках ст = 0 и а = я. С другой
стороны, процесс испускания частицы существенно локален, он связан с
некоторым частным значением о и не должен зависеть от глобальных
