Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 170

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 212 >> Следующая

амплитуда имеет вид
•4м = 4"Ьсг)"-! \ ^мЫ'м{тк- гК(т4' г)' ,7-2Л8)'
7.2. Замкнутые бозонные струны
427
'где
Л(±к, 2)=<0|7'{Fi,(4-fe1) 2,) ...VR(±kM, 2д,)}10>/(Пг?),
(7.2.19)
lLM{±k, 2)=<0|r{FL (4^1, Z.) ...VL(±kM, гм)}|0>/(Ш),
(7.2.20)
Символ "Т упорядочения" означает, что все множители V расставлены так,
что |г| =р убывает при переходе к каждому следующему V, а возникающие при
этом всевозможные расстановки операторов как раз и соответствуют сумме по
всем перестановкам в (7.1.73). Взятые по отдельности, члены с различным
упорядочением по |г| никакого инвариантного смысла не имеют, осмысленной
является лишь вся полная сумма.
Теперь, чтобы разобраться с понятием дуальности, нам необходимо обсудить
оставшуюся в теории симметрию, которая для замкнутой струны играет ту же
роль, что SL(2, R) для открытой. При квантовании струны в гамильтоновой
картине, использованной во второй главе, когда метрика на мировой
поверхности имеет сигнатуру (- + ), вакуум 10; 0), т. е. основное
состояние с нулевым импульсом, инвариантен относительно
шестипараметрической группы SL(2, R) X-SL(2, R); первый из этих факторов
генерируется посредством L\, L0, L-1, а второй посредством Li, L0, L_i
Однако при вычислении струнных амплитуд рассеяния гораздо удобнее
выбирать на мировой поверхности метрику с сигнатурой (Н-(-). Это как раз
та самая метрика, которая естественно, без всякого дополнительного
вмешательства, появилась в приведенных выше формулах. Однако при выборе
евклидовой метрики группа SL(2,R) X-SL(2, R) заменяется на группу SL(2,
С), состоящую из всех комплексных матриц размера 2X2 с единичным
детерминантом. Обе эти группы, SL(2,C) и SL(2, R) X SL(2, R), имеют
вещественную размерность шесть и довольно тесно связаны друг с другом, но
все же это совершенно разные группы.
Поскольку мировая поверхность замкнутой струны представляет собой сферу,
которую можно конформно отобразить на комплексную плоскость, то искомая
симметрия замкнутой струны должна совпадать с группой конформных
преобразований расширенной комплексной плоскости (с присоединенной
бесконечно удаленной точкой). Для того чтобы уяснить себе, почему этой
труппой будет именно группа SL(2,C), заметим, что любую жомплексную
матрицу размера 2X2 можно рассматривать как
428
7. Древесные амплитуды
оператор в двумерном комплексном векторном пространстве:
(*И" DO- <7-2-21>
По виду эта формула совпадает с формулой (7.1.35), но теперь уже все
переменные комплексные, поскольку мы рассматриваем группу SL(2, С), а не
SL(2,R). В точности так же, как и при обсуждении формулы (7.1.35), мы
вводим переменную z=f\/v2 и видим, что она преобразуется по правилу
-> --т-г • (7.2.22)
cz + d
Таким образом, мы заключаем, что группа SL(2,C) действует как группа
конформных отображений z-плоскости (включая бесконечно удаленную точку) в
себя. Из-за комплексности параметров число степеней свободы для SL(2,C) в
два раза больше, чем для SL(2, R); это соответствует удвоению числа
степеней свободы при переходе от открытых струн к замкнутым1).
Хотя сама SL(2, С) и не разлагается на произведение двух групп симметрии
отдельно для правых и отдельно для левых мод, сами эти моды во многих
формулах расщепляются. Например, из (7.1.41) следует
7м(т к' 2) = (т k' z') Ц("-cz'if'
i
!м (т k> z) = ILM (y k' z') П (й -
(7.2.23)
В переводе на обычный язык эти формулы утверждают, что 1м и /м имеют по
группе Мёбиуса веса (2,0) и (0,2) соответствен-
L, R
но, так что все произведение Iм1 м имеет вес (2,2) относительно
преобразований SL(2, С).
Так же, как и в случае открытых струн, мы собираемся представить теперь
меру интегрирования в более симметричном виде. Для начала попытаемся
представить себе, как может выглядеть мера, обладающая всеми необходимыми
свойствами, а затем проверим правильность полученного ответа, показав,
что при подходящем выборе параметров он приведется к виду
(7.2.7), т. е. к формуле, которую мы считаем "правильной" в
*) В гл. 15 мы проинтерпретируем входящие в эти формулы переменные V\ и
v2 как однородные координаты на СРформула z = vi/v2 будет задавать тогда
стереографическую проекцию СР1 (с выколотой "точкой на бесконечности", т.
е. i>2 = 0) на плоскость z.
7.2. Замкнутые бозонные струны
429
том смысле, что она обладает явной унитарностью (по крайней мере в
очевидном канале). Действуя таким образом, мы получим (так же, как и в
случае открытых струн) более общее и более симметричное, чем в (7.2.7),
описание меры.
Очевидно, что искомая мера не может содержать полных (по всей комплексной
плоскости) интегралов по всем г,-; необходимо ввести какие-то
ограничения, в противном случае в формулу опять войдет бесконечный
множитель, пропорциональный объему группы SL(2,C). Эту задачу естественно
решить уже один раз использованным приемом, т. е. фиксировать три
произвольные координаты (обозначим их za, zb, zc) с помощью симметрии
SL(2, С), положив их равными z°A, z°B, z°c соответственно. Число условий
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed