Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Подведем итог. Мы установили эквивалентность двух картин, F\ и F2, и
показали, каким образом одна картина переводится в другую. F2 мы
использовали для демонстранции того факта, что древесные амплитуды
обладают только физическими полюсами в каналах, пропагаторы которых
входят в амплитуду явно, и, кроме того, установили, что вычеты в этих
полюсах представляют собой древесные амплитуды такого же типа, как это и
требуется унитарностью. В картине F1, напротив, мы смогли получить для
древесных амплитуд явно SL (2, R) -инвариантную формулу, что, в свою
очередь, позволило установить, свойство циклической симметрии, перенося
на рассматриваемый:
440
7. Древесные амплитуды
случай всю аргументацию из теории бозонной струны. Это распространяет
доказательство, полученное путем факторизации, на все каналы.
7.3.3. Примеры
Вершинный оператор, описывающий испускание тахиона, •есть WT = :eik'x:,
так что
VT (k) = [Gr, : eik'x : ] = k ¦ я|> : elk X : . (7.3.24)
•Условие массовой поверхности тахиона k2 = 1 обеспечивает нам / = 1/2 для
Wt• Но хотя этот оператор и удовлетворяет всем супервирасоровским
дополнительным условиям, он все же не является физическим, поскольку
испускаемое состояние G-нечетно и, следовательно, нарушает условие GSO.
Правильный, .действительно физический бозонный вертекс должен быть
бозонным же оператором, a VT таковым не является. Первым физическим
бозонным состоянием с правильной G-четностью в спектре суперструны будет
безмассовый вектор. Соответствующий ему вертекс, а он уже использовался в
гл. 4 при построении алгебры, порождающей спектр, имеет вид
V (?, к) = {Gr, ? • ^ik-х} = (? • X - S • # • я|>) eik'x. (7.3.25)
Как обычно, мы требуем k2 = %-k =0.
Опишем теперь несколько явных примеров древесных амплитуд. В качестве
неплохой разминки стоит вычислить М-тахион-ную амплитуду, хотя она и
описывает состояния, которых просто нет в том варианте теории, который мы
реально собираемся исследовать. На заре возникновения модели RNS, прежде
чем была осознана важность условия GSO и пространственно-временной
суперсимметрии, именно эта амплитуда была первой амплитудой, вычисленной
в теории. Тогда считалось, что тахион- это просто л-мезон с "несколько
неправильной" массой.
Удобный для дальнейших вычислений прием - это экспонен-цировать префактор
yfe--ф, так что разные системы осцилляторов опять начнут расщепляться.
Поскольку переменная л|з фермион-ная, то в показателе ее надо домножать
на фермионный же параметр, что и приводит нас к представлению
¦^¦Ут(у) = ^ ^6ехр {ik ¦ Х{у)-\-Ш- ip (у)Ну}, (7.3.26)
где 0 - грассманово число и подразумевается нормальное упорядочение.
Множитель i/л/У связан с тем, что
7.3. Суперструны в формулировке RNS
Фактически именно из этих соображений некоторые авторы включают
дополнительный фактор вида y-J в определение любого оператора с
конформной размерностью /, однако, чтобы не расходиться с обозначениями в
подавляющем большинстве имеющейся литературы, мы так поступать не будем.
По сути, фигурирующий в (7.3.26) показатель есть не что иное, как ik-
Y(y,Q), где Y-введенное в разд. 4.1.2 поле в суперпространстве. Все
отличие заключается в том малосущественном обстоятельстве, что переменные
г|з и 0 в разд. 4.1.2 были двухкомпонентными майорановскими спинорами, в
то время как сейчас, после наложения граничных условий открытой струны, у
них осталось лишь по одной компоненте. Вообще говоря, мы могли бы
выводить все формулы этого раздела, сразу систематически используя
суперпространственный подход, но, стараясь сделать изложение как можно
более простым, мы стали работать с компонентами. Замечательно, что даже
при таком способе действий мы, как видно из (7.3.26), самым естественным
образом пришли к выражению, имеющему в точности суперпространственную
структуру!
Из формулы (7.3.27) и корреляционной функции
выведенной в приложении 7.А, мы получаем следующее выражение для полной
корреляционной функции двух вертексов:
Во втором равенстве мы воспользовались тем обстоятельством, что любая
функция грассмановых переменных может быть по ним не более чем линейна.
Обобщая эту формулу на случай М частиц, можно показать, опять-таки с
помощью формул из приложения 7.А, что М-тахионная амплитуда имеет вид
<0 IЫ Xv (у,) | 0) = - тГ In (yt - У,) к (7.3.28"
= ^ dQi сШ/ехр {ki • kj in (уi - у, - 0г0у). (7.3.29)-
AM=\daM(y)IM(k, у), (7.3.30)
(7.3.30)
где
= (ПУ1)Щ J (П dBt) П {У1 -У1~ (7.3.31)
i<!
•442
7. Древесные амплитуды
Поскольку подынтегральное выражение содержит четное число переменных 0;,
то амплитуда отлична от нуля, только если М четно, что находится в
согласии с понятием мультипликативно сохраняющегося квантового числа,
отвечающего "G-четности". 1м инвариантно относительно преобразований
суперсимметрии на мировой поверхности
поскольку сама комбинация yt- у,- - 0,0,- суперинвариантна (как, впрочем,
и комбинация 0(- - 0/, которая в этой формуле не встречается). Эти
преобразования генерируются оператором G_i/2. Есть еще и фермионные
