Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что для доказательства циклической симметрии желательно иметь
выражение, в котором все М внешних состояний задаются одними и теми же
операторами V, и именно в этом заключается переход в картине Fi (эта
картина была открыта первой).
Тот факт, что вместо у j И Ум> стоящих в формулах (7.1.28) и (7.1.29), у
нас появились у\12 и у~U2, есть прямое следствие того обстоятельства, что
от вертексов V с конформной размерностью /=1 мы перешли к вертексам W с
/=1/2 Это рассуждение можно проиллюстрировать на примере тахионного
вершинного оператора W =: eikX:, где фактор Zo, определенный в (7.1.6),
оказывается равным
= gikx + k-p In z = gik-Xgk-p + W __ zk-p - \j2gik-x (7 3 11)'
поскольку теперь k2-\, а не k2 = 2, как было раньше. В результате теперь
мы имеем
Z0| 0; 0) = .г~1/2| 0; k) (7.3.12)-
<0; 0 |Z0 = <0; k\z1/2, (7.3.13).
что легко позволяет убедиться в правильности формул (7.3.9) и (7.3.10)
для тахионов.
7.3.2. Картина F\
Чтобы продвинуться в понимании формализма Fь начнем со следующего
замечания: для любого физического состояния картины F2 имеет место
тождество
(ф|01/20-1/2 = (ф|, (7.3.14)
поскольку G1/2G-J/2 = 2Lo - G-1/2G1/2 и (ф | G-щ ~ <ф I (^о - 1/2)=0.
Таким образом, древесную амплитуду (7.3.1) можно переписать-в виде
= §М~2 | Gi/2G_l/2V (2) А . . . К(М-1)|Фл1>.
(7.3.15).
-438
7. Древесные амплитуды
Далее перенесем оператор G_ц2 направо до упора, используя те же самые
соображения, что и при доказательстве унитарности. Действуя таким
образом, мы получим альтернативную форму записи амплитуды:
^ = gM-2<9i|y(2)AF(3) ... ДУ(М-1)|фм>, (7.3.16)
где
I ф) = G-1/21 ф) (7.3.17)
и
A = (L0-l)-'. (7.3.18)
Последняя формула есть прямое следствие (7.3.8). Равенство
(7.3.16) и есть амплитуда в картине Fь Состояние |ф> в
(7.3.17) -это вектор фоковского пространства в картине Fu
соответствующий фоковскому же вектору |ф> в картине F2. Поскольку роль -
Fi-пропагатора играет теперь А, то волновое уравнение будет иметь тот же
вид (L0-1) | ф> == 0, что и в теории бозонных струн.
Важно отметить, что физическое состояние | ф.> в картине F\ не
аннигилируется оператором Gi/2. Действительно,
Gi/2 | ф) = GI/2G_1/2| ф) = (2Lo - G-1/2G1/2) | ф) = | ф). (7.3.19)
Из этого равенства и формулы (7.3.17) видно, как переходить при описании
состояний из одной картины в другую и обратно. Заметим еще, что операторы
Gr при г ^ 3/2 действительно аннигилируют состояния картины F\, поскольку
Gr | ф> = GrG_i/21 Ф) = (2Lr-m - G^,2Gr) | ф) = 0, (7.3.20)
когда г ^ 3/2.
Связь между состояниями картин Fi и F2 можно интерпретировать еще и
следующим образом. С каждым физическим
состоянием можно ассоциировать как вершинный оператор W с /=1/2, так и
оператор V с / = 1, определяемый формулой
V = {Gr, W} или V = [Gr, W], При этом состояния в картине
F2 строятся с помощью оператора W по правилам (7.3.9) и
(7.3.10). Состояния же в картине Fь с другой стороны, строятся по тем же
формулам, что и в бозонной теории, а именно
|^>=G-i/2 [[тУм12]^{Ум)\0> °>= И(tm)УмУ(км> °>.
1 Ум~*° Ум-*0
(7.3.21)
IФ, I = Пт <0; 0\yfW (yi)Gm = lim <0; 0\ylV(kl, yx\ (7.3.22)
У1 -> 00 У\~* оо
7.3. Суперструны в формулировке RNS
4391
где мы использовали тот факт, что Gy2 и G_ у2 аннигилируют вакуум. В
результате мы приходим к SL (2, R) -инвариантной формуле
^л1 = &Л1-25^л1(г/)(Пг/г)"1(0; 0\V(ku у,) .. . V (kM, ум)\0-, 0),
(7.3.23)'
совсем как в разд. 7.1.3, Ясно, что и доказательство циклической
симметрии будет такое же, как в этом разделе. Заметим, что формула
(7.3.23) фактически обладает большей симметрией, чем просто SL(2,R).
Истинной симметрией будет расширение до супералгебры OSp(l|2),
порождаемой генераторами L0, L±i, G± 1/2, поскольку именно этот набор
генераторов аннигилирует теперь вакуум |0; 0>.
Состояния из картины F1, которые обращаются в нуль под действием
операторов G, с 1/2 и одновременно удовлетворяют соответствующему Fi
условию массовой поверхности {L0-
- 1) |ф) = 0, образуют новый класс шпурионных состояний, не имеющих
прототипов в картине F2. (Соответствующее Р2 состояние, построенное по
(7.3.19), есть просто нуль.) Например, основное состояние в фоковском
пространстве картины F\ в точности соответствует тахиону с k2 = 2 в
бозонной струне. (Тахион с k2 = 1 выглядит в картине Fi как G-1/2 [0; k}
= k- b-1/210; k).) В то время как в бозонной струне тахион с k2 = 2
является физическим состоянием, это не так в теории суперструн, и в том,
что он действительно отщепляется в деревьях, где все остальные состояния
физические, можно убедиться, поступив с ним так же, как и с любым другим
шпурионным состоянием. А именно, рассмотрим древесную амплитуду в картине
Fь т. е. формулу (7.3.16). Предположим, что |фм> - это шпурионное
состояние, аннигилируемое оператором Gy2. То, что такое дерево обращается
в нуль, становится очевидным после того, как мы представим по (7.3.17)
<фх | = <ф11 G1/2, а затем перетащим Gi/2 направо, пока он не подействует
на |фм> и не даст нуль.
