Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
относительно "твистинга" любого пропагатора), то в сумме
(7.2.7) оказываются учтенными все возможные способы расстановки всех М
штук внешних состояний. Это обстоятельство-не случайно, а связано с еще
одним чрезвычайно важным свойством, тоже не имеющим аналога в теории
открытых струн, а именно условием (Г0- Г0) |ф) = 0, которое налагается на
физические состояния ]ср>. Те состояния замкнутой струны, которые
распространяются пропагатором (7.2.6), не обязательно этому условию
удовлетворяют, но довольно легко так модифицировать формулу (7.2.6),
чтобы пропагатор аннигилировался оператором
1 2л
р^-о+^-о-(io-?-о)_ (7.2.8)
о о
Поскольку как начальное, так и конечное состояния в (7.2.7) тоже
аннигилируются этим оператором, а вертексы с Г0- Го коммутируют (из-за
присутствия интеграла по о), то модификация (7.2.8) значения амплитуды не
меняет, но все дальнейшие наши рассуждения станут значительно проще.
Можно, например, опустить интегрирования по а в вершинных операторах
(7.2.5); удобно ввести комплексную переменную
2 = рег'Ф (7.2.9)
и записать пропагатор (7.2.8) в виде
Л = Т^Г S (7.2.10)
|z|<l
7.2.2. Примеры
Особенно просто формула (7.2.7) работает при вычислении трехточечной
функции. Будем представлять состояния замкнутой струны ф как произведения
левого состояния X и правого р. Тогда вершинный оператор факторизуется из
произведение левого и правого вертексов
У2(к2)^У(ц>2, k2) = VR(p2, y^)Vl(K Tk*)' <7-2Л1>
7.2. Замкнутые бозонные струны
425
взятых при т = 0 (или 2=1). Поскольку для начального и конечного
состояний Lo = Го, то интеграл в (7.2.5) можно опустить. Обкладки тоже
можно представить в виде произведения левых и правых,
<Фх l = <Pi U(r)(^1 Ь I Фз) = I Рз)я (r) Ц3)ъ (7.2.12)
и в результате мы получаем
Л!1 (ФЬ Ф2, Фз) = ЛГ (рь р2, рз) X А? (Л" Л2, Л3), (7.2.13)
т. е. просто произведение двух амплитуд открытой струны, связанных с
левым и правым секторами. В каждой из них, естественно, подразумевается,
что состояния рг- и Я, несут импульс (1/2)kt. Например, трехгравитонная
вершина через трехфотонные вершины открытой струны выражается формулой
л3=ЧЕТ W'u ^ W <7-2 л 4>
где t^yp - тензор из (7.1.58). Тензор поляризации гравитона t,uv(k)
симметричный, бесследовый и удовлетворяет условию = 0. Из тех же формул
нетрудно получить и амплитуды для безмассового антисимметричного тензора
и дилатона. Поскольку t^vр содержит поправки порядка О (а'), то и
трехгравитонная вершина (7.2.14) будет содержать поправки О(а') и
О (а'2) к соответствующей вершине теории относительности; они
отвечают некоторым специальным членам типа R2 и R3 в эффективном
действии.
Вернемся к евклидовой метрике на мировой поверхности и перепишем
подынтегральное выражение в (7.2.5) в терминах комплексных переменных,
введенных в (7.2.9). Полная амплитуда представляет собой сумму членов с
различным упорядочением испускаемых частиц. В каждом из этих членов
пропага-торы представлены как интегралы по переменной z в области \z\ ^
1. Когда все эти члены соберутся вместе, то в результате мы получим
выражение, содержащее набор независимых 2-интегралов, причем каждый из
них будет интегрироваться по всей комплексной плоскости. В качестве
простой иллюстрации этого утверждения рассмотрим две древесные диаграммы,
дающие вклад в четырехточечную амплитуду с внешними тахионами,
расположенными, как на рис. 7.10. Амплитуда записывается в виде
Л4 = х2 <6, | ^ (k2) Д^3 (k3) I kA) + х2 <*, | (*з) ДУ2 (k2) | kA).
(7.2.15)
С помощью интегрального представления (7.2.10) мы можем передвинуть в
первом слагаемом множители zuzL:> из А направо.
426
7. Древесные амплитуды
поскольку
V (k, z, z) = zL°z^V (k, 1) z~Laz~^-a = k, z) VL (-i- k, z) .
(7.2.16)*
Во втором же слагаемом в правой части (7.2.15) эти множители: можно
сдвинуть влево. В итоге мы получаем
А* = J -nTr(bi\V2 (k2, 1, 1) F3 (К z, z) | ki) +
1г|<1
+ 15Г S T^w(kx\VAh, z, z)V2(k2, 1, 1)1 fe4), (7.2.17)
|z\>1
где во втором члене мы сделали замену переменных z-*\/z^ Очевидно, что
эти два слагаемых можно собрать в единое выражение, где интегрирование
будет вестись по всей комплексной
2 3 3 2
Рис. 7.10. Две диаграммы, дающие вклад в четырехчастичную древесную-
амплитудудля замкнутой струны. Рис. а) отвечает пропагатору в s-канале,,
рис. Ь)-пропагатору в "-канале, а их сумма дает полную кроссинг-симмет-
ричную амплитуду.
плоскости z, если принять соглашение, что вершинные операторы
упорядочиваются по возрастанию модуля их аргументов.
Обобщением этого примера будет случай М частиц, где М - 3 переменные
независимо интегрируются каждая по своей полной комплексной плоскости.
Такую амплитуду можно переписать в явно симметричном виде, пользуясь теми
же приемами, что применялись в случае открытой струны в предыдущем
разделе. Для этого, в частности, надо представить конечные состояния как
результат вставки на мировую поверхность некоторых вершинных операторов в
бесконечный момент времени т. Произвольная Al-частичная древесная
