Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
переменных, то в замкнутой струне мы будем получать соответственно ^ d2zf
R(z) fL (г), где !r{z) и fL(z) суть
выражения такого же типа, что и f(y), связанные по отдельности с левыми и
правыми модами. Интегрирование же будет проводиться по всей комплексной
плоскости.
Рассматривая замкнутые струны в разд. 2.3.1, мы установили, что
координата струны Х^(а, т) распадается на сумму
1/2
(1 + xt-kidx = g2\ y-2-sl2(\-y)kl'kidy, (7.1.77)
о
о
7.2. Замкнутые бозонные струны
7.2.1. Построение древесных амплитуд
координат правого и левого секторов Xr(т - а) + (т + т).
422
7. Древесные амплитуды
и что каждое из этих слагаемых разлагается по своей системе-
ОСЦИЛЛЯТОрОВ {dm} И {бт}. ПОСКОЛЬКУ КЭЖДЫЙ ТЭКОЙ Набор
осцилляторов, взятый сам по себе, задает фоковское пространство открытой
струны, то фоковские состояния замкнутой струны можно описывать как
прямое произведение состояний открытой. Дополнительно следует ввести
только одно ограничение: La = La (чуть позже мы к нему еще вернемся), из
которого следует, что оба сектора дают одинаковые вклады в значение
массы. В случае неориентированной струны необходима еще провести
симметризацию по обоим секторам.
В качестве правдоподобной рабочей гипотезы примем, что оператор
испускания основного состояния замкнутой струны представляется в виде
:ехр (ik'X):, в точности как в случае открытых струн. Можно утверждать,
что, как и для открытых струн, тахионное состояние замкнутой струны
обладает единственным квантовым числом - импульсом, который естественным
образом входит в оператор V = :ехр (ik-X):. Поскольку X = XL -(- XR, где
XR и XL построены по отдельности из правых и левых мод и соответственно
друг с другом коммутируют, то наш кандидат на роль вершинного оператора
распадается на два множителя,
V (a, x) = VR(x - a) VL (т + ст), (7.2.1>
причем каждый из сомножителей устроен в точности как опе-
ратор испускания открытой струны:
VL = eikXL, VR = eik'XR. (7.2.2).
При этом важно не упускать из виду, что, как отмечалось в разд. 2.1.3,
для замкнутых струн
ао = ао = -у (7.2.3)'
в отличие от случая открытых струн, где = р** и нет множителя 1/2. Смысл
этого множителя - показать, что хотя Vl и VR в (7.2.2) и построены как
тахионные операторы открытой струны, но приписываемый им импульс есть
(1/2)р^, а не р11. Вот таким образом полный импульс струны распределяется
поровну между правыми и левыми модами.
Естественный вопрос: будет ли факторизация типа (7.2.1) неким общим
правилом или же она специфична для тахионов? Напомним, что фоковское
пространство замкнутой струны легко строится как тензорное произведение
фоковских пространств двух открытых струн - правого и левого секторов.
Представ-ляется вполне естественным строить и остальные вершинные
7.2. Замкнутые бозонные струны
423
"операторы для замкнутой струны в виде произведений вершинных операторов
правого и левого секторов, как в (7.2.1). Такие операторы будут во
взаимно однозначном соответствии с элементами фоковского пространства
замкнутой струны, и, более того, легко видеть, что они будут обладать
всеми необходимыми физическими свойствами вершинных операторов. Например,
если Vl и Рд - это левый и правый вершинный операторы с _конформными
размерностями единица, то их произведение VlVr будет иметь общую
конформную размерность два, что, как мы убедились в гл. 1, и есть
правильная размерность для вершинного оператора замкнутой струны.
Существенное отличие замкнутой струны состоит в том, что состояния могут
испускаться из любой внутренней точки мировой поверхности, а вовсе не
только из точек границы, как в открытой струне. С физической точки зрения
вершинный оператор
V {k, т, ст) = У* (i- k, т - ст) VL (у k, т + ст) (7.2.4)
описывает эмиссию из точки с координатами т и ст. Однако то, к чему мы
стремимся в операторном формализме, - это полная амплитуда процесса,
содержащего испускание частицы в момент т, вне зависимости от того, при
каком именно значении ст она была испущена. Таким образом, мы определяем
вершинный оператор для замкнутой струны как суперпозицию операторов со
всеми возможными ст:
Я
Vcl {k, т) = ^ doVR (у- k, т - ст) Vjr (у k> т + ст) =
О
Я
= -^- ^ dae~2ia R (у k, т) e2io(L"-L0)' (7.2.5)
о
Продолжая действовать в том же духе, как и в случае открытых струн,
определим пропагатор
1
A = y(L0+ L0-2)-' = i-J р^+Го-зф (7 2.6)
0
и древесную амплитуду Ам = kM~2(q>l | V2AK3 ... Al/M_11 фм) +
перестановки вершин.
(7.2.7)
-Эти формулы очень похожи на формулы для открытой струны и тоже обладают
тем замечательным свойством, что унитар-
7. Древесные амплитуды
ность (по крайней мере в явно указанных каналах) очевидна. Но есть в них
и весьма существенное отличие: мы не можем корректно определить какой-
либо способ упорядочения М - 2 испускаемых частиц, и полная амплитуда
явно содержит сумму по всем возможным перестановкам отвечающих им
вертексов. Поскольку, кроме того, вертексы интегрируются по всем
возможным значениям сг (в результате формула становится инвариантной
