Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Для двух безмассовых векторов и одного тахиона получаем {поместив векторы
на концах)
? = (0; k\ i?i • щУ0(k2) ?з ' (r)-i I 0" ^з) =
= g(0; ICi •а1е'*'а-"е~**'а'е3-а_1|0; k3) =
- g(?i ' ?з - Si ' &2 ?з ' ^2)• (7*1.56)
414
7. Древесные амплитуды
Нетрудно проверить, что этот результат калибровочно инвариантен
(обращается в нуль, если ^ заменить на k\ или ?3 - на &3) при k\ = kl =
0, kl = 2, ?i • kx = ?3 • k3 - 0.
Рассмотрим теперь случай трех безмассовых векторов. Мы имеем
g(0; k{ |gj • щу (6j • &2K3 • a_,| 0; k3) =
==g(fi"> h l?i • ai^2' (a-i + P + ai)e*2 а_1б *2 "'^з • a_i | 0; &3) =
= § [?i ' ^2^2 ¦ ?3 ^2 ' ^3^3 " ?1 ""t-
+ S3 • *,?, ' S2 + S, • Ч2 ¦ Чг ¦ kx] = (7Л.57)
где
^nvp = ^(iHvp "Ь ^v'Hpn "Ь ^lp'Huv "Ь ^2n^3v^lp" (7-1.58)
Поскольку эта вершина полностью антисимметрична по всем трем внешним
линиям, то, суммируя по всем циклическим перестановкам, мы будем получать
нуль, за исключением того случая, когда она умножается на теоретико-
групповой фактор tr (№№№) ~ fabc. Вот почему эта вершина будет реально
присутствовать только в неабелевых теориях. При этом первые три члена в
(7.1.57) соответствуют стандартному кубическому взаимодействию,
возникающему из янг-миллсовского действия tr F2, а последний член
представляет собой поправку порядка 0(а')> которая соответствует
добавлению к низкоэнергетическому действию члена типа tr (/^/^/''р)-
В качестве следующего примера рассмотрим четырехтахионную амплитуду,
задающуюся выражением
А4 = g2(0; k, IF0 (k2) AF (k3) I 0; k4) =
1
= g2 J-тЧО; Wo (*2, 1) F0(*3, x)\ 0; kA). (7.1.59)
0
Среднее по нулевым модам легко вычисляется с помощью
(7.1.6), и мы получаем
хкг-к,+1 - x-sl2-l^ (7.1.60)
где s =- (&3 + &4)2. Та часть подынтегрального выражения, которая
содержит ненулевые моды, вычисляется с помощью
7.1. Открытые бозонные струны
415
описанного в приложении 7.А метода когерентных состояний следующим
образом:
= §2в(-|5-!, (_"(*), -а (/)), (7.1.62)
a a(s)=l + s/2. Таким образом, мы воспроизвели амплитуду Венециано.
Асимптотическое поведение этой амплитуды было описано в разд. 1.1.2.
Рассмотрим обобщение этого результата на случай древесной амплитуды
процесса с М тахионами. Для быстрого получения ответа стоит исходить из
более симметричной формулировки (7.1.40), (7.1.42) и (7.1.47). Собственно
М-тахионная корреляционная функция подробно вычисляется в приложении 7.А,
и результат выглядит следующим образом:
(о|У0(*ь У\) v0{kM, ум)\(r)) = У\Уъ ••• Ум П (yt - yi)kl'ki-
{<i
Заметим, что в гл. 1 мы уже выводили эту же формулу с помощью
функционального интеграла. Таким образом,
оо
Собирая все вместе, получаем
dx =
о
где В - это бета-функция Эйлера,
1
В (а, Ь) = J х0-1(1 -x)b~ldx
О
(7.1.64)
IM(k, У)=П (yi - yi)ki'ki,
(7.1.65)
416
7. Древесные амплитуды
что дает при подстановке в (7.1.42) формулу Коба - Нильсена:
Ам = g"-2 (у°А - у%) {у"А - у°с) (у% - у°с) X
оо
X 5 dy{dy2 ... dyM б (уА - у°А) б (ув - у%) б (,ус - у°с) X
- оо
м
X П19 ("!-> - У|) П (у, - ",)*''*'• <7-1 -66>
i=i i<i
В качестве еще однох'о и последнего примера рассмотрим древесную
амплитуду с М векторными частицами. В этом случае вершинный оператор
V(t"k,z) в (7.1.8) содержит дополнительный фактор ?-jf(2), и его удобно
учесть следующим образом: вставим вместо него выражение ехр (?•,?), а
закончив вычисление, удержим в результате только линейную по ? часть.
Если мы так сделаем, то вся осцилляторная алгебра опять распадется на
произведение отдельных факторов (по фактору на каждый осциллятор), что
делает вычисление сравнительно простым. В результате такой подстановки
появляются эффективные вершинные операторы вида V7 = exp (ikX -{-?,¦ X),
причем нормальное упорядочение здесь несущественно, поскольку k2 - = &? =
0 и членами порядка ?2 мы пренебрегаем. Корреляционные функции операторов
такого сорта вычисляются с помощью формул, приведенных все в том же
приложении 7.А, а именно:
/ ^ (Si' У\) 1 V (Елу kM' ум)
\ У\ У м
= ехР Yj ( ki ' ki 1о§ ^ ~ У/)
i<I
(7.1.67)
Таким образом, окончательный ответ выглядит как
Аи = 8М~2 S d^M (У) Рм (е, К У)1М (*' у), (7.1 -68)
где d\iM(y) и 1м задаются формулами (7.1.47) и (7.1.65),
а Рм ~ это линейная по векторам поляризации часть функции
"рЕ(тт&~?тг)- (71-69>
1*1
В частности, при М = 3 ответ совпадает с формулой (7.1.57).
>-
h ¦ is _ kftf u-ii ^ (Ui - У1)2 yi - yi yi - yi)'
7.1. Открытые бозонные струны
417
7.1.5. Калибровочная инвариантность на .уровне древесных диаграмм
Теперь мы обсудим вопрос о том, что можно считать аналогом калибровочной
инвариантности для древесных процессов в теории открытых струн. Напомним,
что для безмассовых внешних состояний этот вопрос уже обсуждался в разд.
1.5.1.
В разд. 7.1.2 мы продемонстрировали, что в древесных диаграммах
шпурионные состояния отщепляются, если все остальные состояния -
физические. Среди всех шпурионных состояний особого внимания заслуживают
так называемые состояния с нулевой нормой. Эти состояния, о которых мы
