Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
четырех типов спиноров (при D - 3, 4, 6 и 10) так и происходит.
Мы докажем это свойство для крайне важного для нас случая майорано-
вейлевских спиноров в D = 10. Итак, нам надо показать, что выражение
(здесь мы воспользовались антисимметрией fabc и опустили собственно
спиноры)
(Г°Птп (Г°Г")И + (№)тр (Г<П),п + (№)т9 (Г°Гц)пр (4.А.6)
обращается в нуль. При этом мы можем считать, что все спи-норные индексы
т, п, р и q имеют определенную, скажем положительную, киральность, хотя
проекционные операторы явно не-выписаны, поскольку спиноры в (4.А.5)-
вейлевские. Еще отметим, что матрица Г°Гтп симметрична, а второе и третье
слагаемые меняются местами при перестановке т ч-v п, так что все
выражение в целом является т, п-симметричным.
Для доказательства рассмотрим все выражение (4.А.6) как матрицу с
индексами т и п, а на р и q не будем обращать внимания, чего, впрочем,
можно достичь и прямо, умножив все-выражение на антикоммутирующие спиноры
"ф? и -фг- Тогда оно запишется в виде
(г'х)т"'ф1ги'ф2+ (Г^1)т0ф2Гц)п - (4.А.7>
Произвольную матрицу М тп МОЖНО рЗЗЛОЖИТЬ ПО ПОЛНОЙ СИ-стеме (Гм-1... v-
k)mn, где k = 0, 1, ..., 10, и кратчайший способ доказательства состоит в
том, чтобы продемонстрировать обращение в нуль для каждого члена
разложения в отдельности. Прежде всего заметим, что все члены с четным k
обращаются в нуль в силу условия вейлевского проектирования. Далее,
тождество
Г., ~""-± urrjrr •••"" г"'+' "''*•" <4'А'8>'
в совокупности с тем фактом, что Гц можно опустить для вейлевских
спиноров, позволяет утверждать, что можно ограничиться рассмотрением
членов лишь с k ^ 5. Кроме того, тензор Гц,...ц5 разлагается на
автодуальную и антиавтодуальную части, и только одна из них может давать
ненулевой вклад. Еще заметим, что матрицы ГТц и Г0^,^ симметричны, а
Г0Гц,ц!(11 антисимметрична. Таким образом, нам остается лишь рассмот-
280
4. Суперсимметрия мировой поверхности
реть члены с ? = 1 и с ? = 5. В качестве проверки этого подсчета заметим,
что симметричная матрица 16X16 имеет
= 10 + ^ • 10' ¦7-~6 = 136 (4.А.9)
компонент.
Умножая (4.А.7) на (Гр)пт и свертывая индексы, получаем
tr (ГмТр) - ^Г^ГрГ^ + ^Г^ГрГ^ =
= - 1б1()1Гр1|з2 + 8ф2Грг[)1+ 8ф1Гр11)2 = 0, (4.А.10)
откуда вытекает, что Гр-часть отсутствует. Повторяя ту же процедуру для
(ГР1 ...p,)n'm, имеем
- ФгГ "Гр,... Р5Г^1 + ФГцГр1 • • • р = З^ГцГр,... рД1^. (4. А.
11)
Однако в D-мерии
Г"ГР1... Ркт" = (~1)*+1 (D - Щ Гр,... Pfc. (4.А. 12)
Положив D = 10 и k = 5, мы видим, что (4.А.11) обращается в нуль, что и
завершает доказательство.
5. Пространственно-временная суперсимметрия в теории струн
В описании суперструн, данном в четвертой главе, имеется один вопиющий
дефект: понять, откуда возникает простран-ственно-временная
суперсимметрия, чрезвычайно трудно. Мы берем один набор граничных условий
и получаем струну-бозон, другой набор - и получаем струну-фермион, потом
раз - и возникают преобразования, связывающие состояния этих двух струн!
Эта симметрия совершенно необходима, как мы уже убедились, для того, чтоб
иметь согласованное взаимодействие поля: гравитино, содержащегося в
безмассовом мультиплете замкнутой струны. Кроме того, мы показали, что,
наложив условия GSO, мы получаем на любом массовом уровне по одинаковому
числу бозонов и фермионов, как этого требует линейная суперсимметрия.
В этой главе мы опишем формализм, который приводит нас: к той же теории,
но так, что суперсимметрия становится явной. Мы начнем с построения на
мировой поверхности ковариантного действия, обладающего пространственно-
временной суперсимметрией. Ковариантное квантование этого действия
оказывается довольно затруднительным, однако его можно прокван-товать в
конусной калибровке. Хотя получающийся формализм не обладает явной
лоренд-инвариантностью, в размерности D= 10 она может быть установлена.
Суперсимметрия очевидна, условия GSO автоматически встраиваются с самого
начала так, что никакого усечения не требуется; бозоны и фермионы
оказываются в едином фоковском пространстве.
5.1. Классическая теория
Мы начнем с классической теории явно суперсимметричного действия
суперструны. Симметрии этого действия устроены довольно хитро, и прежде
чем начинать квантование, в них надо-разобраться. Важная роль отводится
здесь новой локальной (на мировой поверхности) фермионной симметрии. Хотя
она без-
282
5. Пространственно-временная суперсимметрия
условно связана с обычной суперсимметрией, но все же это не
суперсимметрия. Чтобы продемонстрировать, как она работает, мы кратко
опишем сначала суперчастицу, систему гораздо более простую, а потому и
легче поддающуюся детальному анализу.
5.1.1 Суперчастица
Напомним, что в разд. 1.3.1 и 2.1.1 мы описывали релятивистскую частицу
массы m действием на мировой линии
5 = -j ^ (e~lx2 - ern) dx. (5.1.1)
.Дополнительную координату е можно отождествить с квадратным корнем из
одномерной метрики. Важное свойство этой формулы- существование гладкого
