Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Вирасоро претерпевает еще одно удвоение:
[Lm, Ln\ = (m - п) Lm+n + y D (m3 - m) bm+n. (4.5.38)
Локальная алгебра SU(2) порождает алгебру Каца - Муди:
\Tm, ТЬп] = ieabcTm+n + 2Dmdm+n&ab. (4.5.39)
Есть четыре оператора типа G?, преобразующиеся как пара SU (2) -дублетов.
Так,
\Tam, Gra]=yXS[jGL-r, (4.5.40)
где, используя матрицы Паули х°, можно выразить Ха в виде
(ха 0 \
Г = (0 t"J. (4.5.41)
Наиболее интересная скобка - это {Gr, G?} = 26^Lr+s - 2 (г - s) la^Tr+s +
2D (г2 - -|) б"Ч+,.
(4.5.42)
Приложение 4.А
277
Все операторные тождества могут быть получены из явного, представления
через осцилляторы а и Ь более или менее очевидным образом, и поэтому все
тождества Якоби безусловно должны выполняться.
Эта схема приводит нас к отрицательной критической размерности (D = -2),
и потому не представляется возможным разумно интерпретировать ее в рамках
струнной теории.
4.6. Резюме
Мы обобщили струнное действие так, что в него вошли суперпартнеры
пространственно-временных координат Х^(а, т), а именно майорановские
фермионы г)^(а, т). Добавив еще и поля двумерной супергравитации, мы
получили формулировку с локальной суперконформной симметрией. При выборе
кова-риантной калибровки в теории возникают связи, соответствующие
обращению в нуль двумерного тензора энергии-импульса и тока, отвечающего
суперсимметрии.
Операторы связей образуют бесконечномерную градуированную алгебру,
называемую супералгеброй Вирасоро. В десятимерном пространстве спектр
поперечных состояний, отвечающий этой системе связей, оказывается
свободным от духов, и только в этой размерности квантование в конусной
калибровке приводит к лоренц-инвариантной квантовой теории.
Для фермионных координат ip (а, т) имеются две возможности выбора
граничных условий. При одном выборе моды нумеруются целочисленным
индексом и описывают простран-ственно-временные фермионы, при другом -
индекс становится полуцелым числом, а состояния струны - пространственно-
временными бозонами. Если спроектировать спектр на подпространство с
четным фермионным (на мировой поверхности) числом, то спектр становится
свободным от тахионов, и, более того, бозонов и фермионов на каждом
массовом уровне становится поровну и естественно возникает мысль, что
теория обладает пространственно-временной суперсимметрией. Однако в
подходе данной главы это свойство выглядит довольно малоубедительно; мы
докажем его в следующей главе, используя другую формулировку теории.
Приложение 4.А. Суперсимметричные теории Янга-Миллса
Низкоэнергетической аппроксимацией для открытой суперструны служит
суперсимметричная теория Янга - Миллса. Такие теории описываются
действием вида
+ (4.А.1)
278
4. Суперсимметрия мировой поверхности
где - тензор напряженности поля для неабелева вектор-потенциала Л^:
Fy.v = diiAv - дуАц -(- gfbcAiiAv. (4.А.2)
Как поле так и г|за лежат в присоединенном представле-
нии полупростой группы Ли. Символ D обозначает янг-миллсов-скую
ковариантную производную:
UV|))a = дцг|>а + gtbcA^x|/. (4.А.З)
Число физических фермионных мод, описываемых спинор-
ным полем -ф, есть некоторая степень двойки; она зависит от размерности
пространства-времени и типа спинора (дираков-ский, майорановский,
вейлевский и т. д.). Действительно, как мы увидим в приложении 5.А,
именно такова размерность спи-норных представлений для групп SO(n).
Векторное же поле Ац ¦описывает D - 2 физических мод в соответствии с
числом различных поперечных поляризаций. В суперсимметричной теории число
бозонных и фермионных физических мод должно быть одинаково;
следовательно, условие суперсимметричности минимального, не содержащего
никаких дополнительных полей лагранжиана (4.А.1) означает, что D - 2
должно быть степенью двойки. Простейшие случаи, когда это условие
выполняется, - это D = 3, 4, 6 и 10, и именно эти случаи оказываются
наиболее интересными.
У майорановского спинора в D=3 есть одна физическая мода, у
майорановского спинора в D = 4 - две, у вейлевского спинора в D = 6 -
четыре и у майорано-вейлевского спинора вй = 10 - восемь. В каждом из
этих случаев указанное число компонент совпадает с D - 2, и минимальный
лагранжиан может быть суперсимметричным. При D > 10 число спинорных
компонент намного превосходит число векторных, и суперсим-метричных
теорий Янга - Миллса там вообще не существует.
Суперпреобразования, относительно которых инвариантно (4.А.1), имеют вид
6Л?=4ёГиЛ
. (4.А.4)
6г|за = -j- F^r^e.
Если подставить (4.А.4) в (4.А.1), то члены, пропорциональные •ел]),
сократятся в любой размерности.
Более сложно обстоит дело с членами, пропорциональными ег|з3. Подставив
вариацию поля А в ковариантную производную, мы получим слагаемое вида
/аг>сёГ,1г|)афгТ*|'г|)с. (4.А.5)
Приложение 4.А
279
Поскольку во всей вариации действия это единственный член, содержащий
сразу три ф, то суперсимметрия может иметь место, только если он сам по
себе обращается в нуль. Удивительно, но факт, что используя полную
антисимметрию fabc, можно доказать, что именно для перечисленных выше
