Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
двумерная супергравитация вообще не реагирует на присутствие в действии
поля гравитино %а, было бы неверно. Переход от к т] и е приводит к
появлению некоего якобиана, который, как и раньше, может быть представлен
в виде функционального интеграла по духовым полям.
Чтобы надлежащим образом ввести духовые поля, нам придется сделать
некоторое отступление и обсудить само понятие "спина" 1 + 1-мерных полей.
Интересующая нас группа Лоренца- это SO(l, 1) или SO(2) в евклидовой
формулировке; для определенности мы будем рассматривать именно евклидов
случай. У SO (2) есть всего один генератор, который мы обозначим буквой
W, и ее представления специфицируются заданием собственного значения W,
оно-то и является "спином". Сейчас мы интересуемся представлениями с
целыми или полуцелыми значениями W. Например, поле гравитино %аА имеет
векторный индекс а, соответствующий значению спина ±1, и спинорный индекс
А (как правило, мы его опускали), соответствующий спину dr 1/2, а значит,
в сумме %аА имеет четыре компоненты со спи-
266
4. Суперсимметрия мировой поверхности
нами ±1 и ±1/2, т. е. 3/2, 1/2, -1/2 и -3/2. Калибровочные параметры т) и
е в (4.4.1) - это двухкомпонентные спиноры со спином ±1/2, а оператор
дифференцирования Va - вектор, компоненты которого несут спин +1. Удобно
принять следующее-временное соглашение: для произвольного поля V
обозначим Vq его компоненту со спином q. Оператор дифференцирования Va,.
например, будет иметь компоненты V[ и V-ь В этих обозначениях можно более
развернуто записать (4.4.1) в виде
^3/2 == ^1е1/2>
^Xi/2 = Vje_1/2 + т]1/2,
Л w , (4.4.2)<
^ -1/2 V- 1е1/2 "I- Т1-!/2'
^Х_з/2 = V_ Xе- 1/2-
Отметим, что параметр появляется только во втором и в третьем равенстве,
причем без производных; следовательно, никакого нетривиального якобиана
при замене %±i/2 на r)±i/2 не возникает. Можно даже вообще убрать второе
и третье равенства из (4.4.2), поскольку для нас существенны только
первое и четвертое. Якобиан, возникающий при переходе от %з/2 к ei/2,-
это
/з/2 = с1еГМ/2^3/2, (4.4.3)
" 1/2->3/2
где верхнии индекс у Vi указывает, что мы рассматриваем оператор Vi как
действующий из пространства полей со спином 1/2 в поля со спином 3/2.
Чтобы записать этот якобиан как функциональный интеграл, введем поля у\/2
и р_з/2 (индекс указывает спин!) и запишем
^3/2 = 5 ^Yi/2^P-3/2 еХР ("^7 5 -3/2^1 V]/2^ • (4.4.4)-
Здесь у и р должны быть коммутирующими полями, поскольку они являются
духами для фермионной симметрии или, иначе аргументируя, потому что в
(4.4.3) стоит det_I. (Однако сама эта -1 появляется именно потому, что %
и е антикоммутируют.) Аналогично замена переменных %-з/2 на е-1/2 дает
якобиан, который можно представить в виде
¦^-3/2 = 5 ^^_1/2^Рз/2 еХР d СТРз/2^-lY_l/2} > (4.4.5)'
где y-i/2 и р3/2 - новые коммутирующие духи. Поля у и (} называются
суперконформными духами.
4.4. Современное ковариантное квантование
267
Пара полей y±i/2 образует двукомпонентный спинор ул, -а пара р±3/2 -
вектор-спинор Род, подчиняющийся дополнительному условию
раАВ$ав = 0. (4.4.6)
(Действительно, левая часть (4.4.6) представляет собой спинор, компоненты
которого имеют спин ±1/2, поэтому соответствующие компоненты |3
зануляются.) Духовое действие, выписанное в (4.4.5) и (4.4.4), можно
представить и в ковариантном виде:
~ Ш S d2^"PYVaPp- (4.4.7)
В калибровке ha$ = б"р из уравнений движения следует, что Рз/2 и 7-1/2 -
это правые, а вторая пара - левые поля.
Ограничиваясь только правыми компонентами и опуская индексы 3/2 и
-1/2 у р3/2 и Y-i/2. мы можем выписать (варьируя
(4.4.7) по метрике мировой поверхности) тензор энергии-им-
пульса для супер конформных духов в виде
Т++=±уд+p + fp<5+Y, (4.4.8)
а ток духового числа для системы р - у будет просто
/? = ру. (4.4.9)
-Формула (4.4.8)- соответствует k = 2 в обозначениях разд. 3.2.2. Введем
разложение по модам
ОО
Y(T) = -т~Л Чпе~21п\ (4.4.10)
- ОО оо
Р(т) = 7Г (4АП>
- оо
тогда из действия Sfp вытекают для мод следующие перестановочные
соотношения:
[V", Р"] = вт+В, (4-4.12)
[Vm, Vn} = [Bm, Вп] = 0. (4.4.13)
Здесь мы приняли номенклатуру, в которой y эрмитово, ар - антиэрмитово
поле. При желании можно и переопределить р,
домножив его на г. В выписанном нами разложении индексы
У Vm и рт принимают целые значения - выбор, отвечающий -фермионному
сектору суперструны. В бозонном секторе для уг л рт индексы надо брать
полуцелыми.
268
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Вклад духов в генераторы супералгебры Вирасоро прямо* следует из формул
для Т++ и /+, и, собирая все вместе, мы получаем
Lm=Yj (m + n) ¦ bm-nCn '¦ + ? (Y m + П) '' $т-пУп : (4.4.14)
и
Fm = - 2 Y, b-n4m+n + Yj - пг) c_"pm+". (4.4.15)
Нетрудно проверить, что из формулы для действительно вытекает, что
конформные размерности с и Ь суть -1 и 2, а у и р суть -1/2 и 3/2. В
антикоммутаторе
И, F*h) = 2Lt+n + Beh (m) bm+n (4.4.16)
появляется аномалия
Bgh(m) = ~5ni2. (4.4.17)
С другой стороны, в разд. 4.2.2 мы установили, что вклад а-и d-
