Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
295
В калибровке светового конуса уравнения движения (5.1.43) замечательно
упрощаются. Важно осознать, что из Г+0 = 0 следует зануление 0]>да0,
кроме ц = -. Для ц = + этот факт очевиден, а для ц = i достаточно
вставить единицу в виде 1 = = (Г+Г-+ Г_Г+)/2 и заметить, что оба члена
дают нуль, поскольку Г+- умножается на 0 либо слева, либо справа.
Окончательно мы получаем
<5-2-7*
(^¦+i-)s'"=0' <5-2-8" (ж-ж<5-2-9>
Эти уравнения совершенно идентичны уравнениям, которые получаются для Х\
*ф?_ и il;'+, если рассмотреть конусную версию формализма четвертой
главы. Единственное отличие состоит в том, что теперь фермионные
координаты принадлежат не к векторному, а к спинорному представлению
группы spin (8). В силу свойства триальности эти уравнения во многом
изоморфны, но есть у них и принципиальные отличия.
Приведенные выше уравнения движения для струны в калибровке светового
конуса (индекс I. с.) можно вывести из действия (здесь мы явно включили
натяжение струны)
5/. с. = - у J d2o {ТдаХ1даХ1 - ± Sap4Sa), Г (5.2.10)
где мы объединили S1(T и S2a в один двухкомпонентный майора-новский
спинор на мировой поверхности и обозначили его S°. Если же брать S10 и
S2a по отдельности, то их можно рассматривать как майорано-вейлевские
спиноры на мировой поверхности, описывающие соответственно правый и левый
секторы. Заметим, что произошло нечто довольно удивительное. В кова-
риантном действии разд. 5.1.2 переменные 0Аа преобразовывались как
мировые скаляры; теперь, после того как была фиксирована калибровка
светового конуса, оставшиеся ненулевые компоненты превратились в мировые
спиноры!
Координаты Х\ входящие в (5.2.10), квантуются так же, как и в предыдущих
главах. Координаты 5л<г имеют следующие антиперестановочные соотношения:
{S^°(ff, т), SBb{o', т)} = л6аЬ6АВ&(в-в'). (5.2.11)
Чтобы выписать для S явное разложение по модам, необходимо еще задать
граничные условия. Для открытой струны
296
5. Пространственно-временная суперсимметрия
это означает, что так же, как мы поступали с переменными г|г в разд. 4.1,
мы должны связать значения S1 и S2 на концах струны. Если при этом мы
будем настаивать на том, чтобы граничные условия сохранили ненарушенной
хотя бы одну из суперсимметрий действия, то у координат 5 должна быть
нулевая мода. А это означает, что у нас нет больше той
свободы
в относительных знаках на двух концах струны, которую мы
имели в разд. 4.1; пространственно-временная суперсимметрия сохраняется
только тогда, когда оба знака совпадают. Удобно положить
Sia (0, т) = S2a (0, т), (5.2.12)
51а (я, т) = 52а (я, т). (5.2.13)
Из формулы для глобальных суперпреобразований, 60л - ел, мы видим, что
при таком выборе параметры е1 и е2 должны совпадать, что сокращает тем
самым число суперсимметрий до единицы: N ~ 1. Отсюда и происходит
название "типа I". Кроме того, S1 и S2 должны принадлежать к одному и
тому же представлению группы spin (8). Если бы в (5.2.13) мы ввели такой
же минус, как в бозонной суперструне четвертой главы, то суперсимметрия
была бы полностью разрушена. Однако при некоторых весьма специальных
обстоятельствах и такой выбор может привести к интересным теориям ]).
Из (5.2.10) для открытой струны следуют формулы разложения на моды
оо
(о, т) = -±=г ? Sne~in (г-а), (5.2.14)-
- оо оо
52а (a, T) = ~-U?s^-i'Mt+a). (5.2.15)
оо
Из условия вещественности следует, что
^=1к,Т- (5-216>
Канонические антиперестановочные соотношения, выраженные через
коэффициенты разложения, принимают вид
{Sam, S$ = babbm+n- (5.2.17)
Для замкнутой струны, как обычно, единственным гранич-
ным условием является условие периодичности
5Ла ((Т; т) = SAa + я> х), (5.2.18>
') В гл. 9 мы рассмотрим одну теорию такого типа, а именно SO(16)X X SO
(16)-теорию, у которой нет пространственно-временной суперсимметрии.
5.2. Квантование
297
и разложение по модам принимает вид
51а (ст, т) = 2Sane~2in (т~а), (5.2.19)
S2a(a, т)=2§"е"2'п(т+а), (5.2.20)
где моды левого и правого секторов независимы. Если S1 и S2 принадлежат к
различным представлениям (8S и 8С), то мы получаем суперструны типа IIA,
которые с необходимостью ориентированы. В противном случае мы получаем
суперструны типа IIB, если они ориентированы, или суперструны типа I,
если ориентации нет.
Эквивалентность двух способов описания суперструн, т. е. того, что
предложен в настоящей главе, и способа из гл. 4, можно установить
следующими рассуждениями. Действие в калибровке светового конуса (5.2.10)
можно связать с "конусным" действием (здесь опять Т - 1/л)
5/'. c=~4r\d2(y (daXW - ftj>'pedaV) (5.2.21)
из гл. 4. В первом случае спинор на мировой поверхности Sa принадлежит к
представлению 8S группы spin (8), во втором случае 1|з - тоже спинор на
мировой поверхности, но принадлежащий к представлению 8V той же группы.
Причем это различие отнюдь не вопрос обозначений, а вполне содержательный
факт, поскольку в обоих случаях Х' принадлежат к одному и тому же
представлению 8V.
Чтобы увидеть связь между двумя теориями в калибровке светового конуса,
