Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
осцилляторов равен
Ba-d (m) = y Dm2 + 2a. (4.4.18)
Таким образом, аномалия сокращается при ?> = 10 и а = 0. Вследствие
тождества Якоби она сократится и в [Lm, Ln]. В бозонном секторе
соответствующие формулы будут иметь вид
Beh(r)=-j - 5r2, (4.4.19)
Ba'd(r)=YD(r2-±) + 2a, (4.4.20)
так что сумма обращается в нуль при Л> = 10 и а = 1/2.
4.4.2. BRST-симметрия
Описанное в разд. 3.2.1 общее правило, которое позволяет по заданным
структурным константам алгебры связей выписать нильпотентный BRST-заряд,
применимо и к градуированным алгебрам. Применяя этот рецепт к
супералгебре Вирасоро, мы получаем
Q = ? (l?nd)Cn + F{°-nd)Уп) -
- Y Y (m ~ ") : C-mC-nbm + n ¦ +
"Ь ^ "Ь • С-пР-mYm + n •
- Y, У-тУ-nbm+n - ас0. (4.4.21)
4.4. Современное ковариантное квантование
269
Как и раньше, член асо связан с неопределенностью, возникающей при
необходимости нормально упорядочивать классическую формулу.
С помощью довольно нудных вычислений, которые вполне повторяют то, что
было в бозонном случае, можно показать, что Q2 = 0, если D = 10 и а= 0. В
качестве простой проверки этого факта укажем, что
Таким образом, отсутствие аномалий в алгебре Ln и Fn согласуется с
нильпотентностью заряда Q. В бозонном секторе все эти рассуждения
повторяются после замены Fm^-Gr, ут^-уг, а =0->- а = 1/2. В фермионном
секторе есть ряд специфических трудностей, связанных с наличием у у и р
нулевых мод, которые приводят к бесконечнократному вырождению основного
состояния в фоковом пространстве. Такое вырождение имеет довольно
существенные последствия, но, к сожалению, прояснение этого вопроса
выходит за рамки данной книги.
В этом разделе мы, буквально следуя описанной в разд. 3.2.2 "бозонной"
логике, опишем ковариантное вычисление аномалии Вирасоро. Все обсуждение
будет предельно простым, поскольку все необходимые формулы уже были
получены: в разд. 3.2.2 и в следующем за ним разделе, посвященном
бозонизации.
В рассматриваемой нами теории имеются: десять бозонов десять фермионов
г|^, конформные духи Ь и с и суперконформные духи р и y. В разд. 3.2.2 мы
показали, что для пары антикоммутирующих степеней свободы (там была взята
пара бис) можно построить однопараметрическое семейство тензоров энергии-
импульса; параметр мы обозначили буквой k. Пара таких степеней свободы
дает в вейлевскую аномалию такой же вклад, как (1-ЗА2) бозонов Xi1. Поля
if)!1 - это десять антикоммутирующих степеней свободы, и (что видно либо
из того факта, что их конформный спин равен 1/2, либо из сравнения их
тензора энергии-импульса с тензорами из разд. 3.2.2) для этих полей k =
0. Следовательно, они вносят в аномалию Вирасоро столько же, сколько пять
полей -XK С другой стороны, для системы Ь - с имеем k - 3, и ее вклад
равен вкладу -26 бозонов. Что же можно сказать о суперконформных духах у
и р? Сравнивая
{Q, bn} = Ln = l}n'd)+ L*\ [Q, K]=Fn = F("'d) + F<?.
(4.4.22)
(4.4.23)
4.4.3. Ковариантное вычисление аномалии в алгебре Вирасоро
270
4. Суперсимметрия мировой поверхности
опять-таки их тензор энергии-импульса с формулой из разд. 3.2.2 (или
принимая во внимание их конформную размерность), мы видим, что для них k
= 2. На первый взгляд отсюда должно следовать, что их конформная аномалия
должна совпадать с аномалией (1-3-22) =-11 обычных бозонов. Однако нельзя
забывать, что суперконформные духи - это коммутирующие, а не
антикоммутирующие, как в разд. 3.2.2, степени свободы. Поэтому при
вычислении однопетлевой диаграммы для <7'++7'++>, которая и определяет
аномалию, мы потеряем теперь существенный во всех выкладках разд. 3.2.2
знак минус, идущий просто от ферми-статистики, и получим в итоге вклад +
11, а не -11 бозонов. Итак, полная конформная аномалия будет равна 10 + 5
- 26+ 11 =0, что еще раз доказывает факт сокращения аномалии в
десятимерии.
4.5. Расширенная суперсимметрия на мировой поверхности
Обобщив бозонную струну до системы с (N = 1)-суперсим-метрией на мировой
поверхности, мы получили теорию струн, обладающую пространственно-
временной суперсимметрией в D = 10. Вдохновленные этим успехом, мы,
естественно, должны двинуться дальше и посмотреть, чего же можно достичь,
отталкиваясь от теории с расширенной суперсимметрией на мировой
поверхности? В теории струн мы фактически должны потребовать
суперконформной симметрии, чтобы все гравитационноподобные поля,
необходимые для локальных калибровочных симметрий, выпали в подходящей
калибровке из классических уравнений движения. Это требование весьма
существенно сужает произвол в выборе возможных теорий. Хотя существует
множество суперсимметричных теорий с D = 2, которые легко выводятся
посредством редукции из теорий с размерностью D > 2, они в большинстве
своем не обладают нужными нам конформными симметриями. Есть только два
варианта, пригодных для теории струн. Один из них имеет на мировой
поверхности (N = 2) -суперсимметрию, а для другого N = 4. В этом разделе
мы вкратце рассмотрим оба варианта и придем к заключению, что физически
