Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
интересных теорий из них, по-видимому, получить нельзя, хотя с
математической точки зрения это вполне интересные структуры, которые
могут оказаться и не лишенными смысла. Мы, естественно, не будем
описывать их столь же подробно, как теории, физический смысл которых
более очевиден, но нам представляется уместным известить читателя об их
существовании.
4.5. Расширенная суперсимметрия на мировой поверхности 271
4.5.1. Теория с N = 2
Напомним, что при N = 1 суперконформная группа симметрий описывалась
бесконечномерной алгеброй, причем в бозонных (NS) секторах, как правом,
так и левом, эта алгебра содержит подалгебру 05р(1,2). При переходе к N =
2 теории подалгебра расширяется до OSp(2,2), откуда вытекает, что в число
бозонных генераторов помимо Sp{2) ж SU(\, \) войдут также и генераторы
50(2)" U( 1). Фермионные же генераторы образуют SO (2)-дублет, или
комплексное представление группы U{\).
Соответствующее N = 2 суперсимметричное действие в фиксированной
калибровке содержит вдобавок к обычным координатам Х^(а, т) бозонные
координаты Y^(<r, т) и S0(2)-дублет фермионных координат i|#(a, т), г =
1, 2:
s=~i\d2c + daY^cfY u - 4iyVV4V} • (4.5.1)
Оно обладает очевидной SO(2)-симметрией относительно преобразований,
вращающих друг в друга г|)1 и гр2 и оставляющих X и У неподвижными.
Суперзаряд тоже является SO (2)-дублетом, что прямо вытекает из закона
преобразования
Здесь ег/- - антисимметричный тензор с ei2= 1. Как обычно, это действие
должно быть дополнено соответствующей системой связей.
Индекс |л = 0, ..., D-1 нумерует направления в простран-стве-времени, а
Х^(а, т) задает вложение мировой поверхности в это пространство-время.
Однако с чисто математической точки зрения координаты У^ входят в формулу
в точности так же; спрашивается, какова же их интерпретация? Лоренцева
симметрия действия S определенно исчерпывается группой SO(D-1,1), так что
описывать какие-то дополнительные измерения переменные У в обычном смысле
никак не могут, и возможно, что вопрос их интерпретации представляет
собой действительно важную и до сих пор не распутанную проблему.
Однако мы оставим в стороне эти вопросы интерпретации и продолжим наш
формальный математический анализ. Более компактно действие (4.5.1) можно
записать, используя комплексные координаты Z^ - X^-h iY14 и V* = г|э? +
гфг. Последние
6Х = ёгг|>,,
6 У = ег/ег1|э/,
<4, = - ipadaXег + iBijpadaYej.
(4.5.2)
(4.5.3)
(4.5.4)
272
4. Суперсимметрия мировой поверхности
представляют собой в точности дираковский спинор в D = 2. Итак,
где мы опустили пространственно-временной индекс ц. Глобальные
преобразования (N = 2) -суперсимметрии можно записать через дираковский
параметр е = ei + t'e2 следующим образом:
Теперь мы собираемся переписать наше действие в репара-метризационно
инвариантном виде. Для этого нам потребуется мультиплет
супергравитационных координат, включающий в себя: диаду е", дираковское
гравитино и калибровочное векторное поле Аа, необходимое для локализации
SO (2) -симметрии. В результате мы получаем
+ (daZ - у Хаф) + (<^aZ - у фха) хрРаРЧ} • (4.5.7)
Заметим, что ни у самого поля Аа, ни у его партнеров е" и %а нет
кинетического члена. Действительно, Аа входит только в одно слагаемое - в
то, где'оно явно выписано. Его уравнение движения - это всего лишь
выражение того факта, что 50(2)-ток равен нулю: ^pa^=0 в дополнение к
условиям Гар = = ]ai = 0, следующим из уравнений движения для полей е° и
Ха'
Помимо локальной репараметризационной инвариантности, лоренц-
инвариантности и суперсимметрии в действии (4.5.7) есть еще несколько
других локальных симметрий. Это обычная вейлевская масштабная симметрия,
S = - J d2a {daZdaZ - (4.5.5)
б Z = ёг|),
6-ф = - ipaedaZ.
(4.5.6)
5 = - yj- ^ d2ae {ha$daZd&Z - ггрра даг|) + Ла1|)ра1|) +
6е" = Ле", 6г|) = -уЛф,
6Z^ = 6Ла = 0, бХа = уЛХа,
(4.5.8)
и (N = 2) -суперконформная симметрия:
6Ха = ФаЛ.
6Ла = у (XgPaP^ + ЛРРРаХв)'
(4.5.9)
4.5. Расширенная суперсимметрия на мировой поверхности 273
Кроме того, есть еще и локальная SO (2) -симметрия, которая калибруется
полем Аа:
6ij) = iSiJ), 6Ла = (5аЕ,
<Ъса = &С = 6Z^ = 0.
У этой симметрии есть и киральный партнер: бф = гЕ'рф, бЛа =
бха = -г'2' рха, 6е" = 6Z^ = 0,
(4.5.10)
(4.5.11)
тоже являющийся локальной симметрией (как и раньше, здесь р = pop 1) • Из
существования пары локальных калибровочных симметрий следует, что как
автодуальная, так и антиавтоду-альная компоненты Аа, т. е. А±, действуют
как независимые калибровочные поля левой и правой локальной группы SO
(2). В делом же полного набора локальных симметрий теории достаточно,
чтобы откалибровать все компоненты полей еа, %а и
А-
Рассмотрим теперь возникающую при квантовании этой струны супералгебру
связей Вирасоро. При этом мы ограничимся рассмотрением бозонного сектора
открытой струны. Моды, соответствующие координате Z^,- это комплексные
осцилляторы а^, удовлетворяющие алгебре
[(r)Л1| (r)п] - Ш&т + п'Ц
(J.V
