Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
действие S является действием "суперконформной" теории. В теории бозонной
струны конформная симметрия после ковариантной фиксации калибровки
привела к алгебре связей Вирасоро. В данном случае мы получаем
суперсимметричное расширение той алгебры.
Конформные и суперконформные теории супергравитации были построены в
четырехмерии. В этом случае действие обязательно содержит члены R2,
которые приводят к множеству патологий, таким как распространение духов и
связанные с ним эффекты. К счастью, эти проблемы не возникают в конформно
инвариантных теориях мировой поверхности с D = 2. (Они также не
появляются в десятимерной физике!)
Наконец теперь мы можем привести последовательный вывод уравнений
суперсвязей Вирасоро, формулируя выбор ко-вариантных калибровок, которые
приводят к простым полевым уравнениям и условиям связей, точно так же как
мы поступали в случае теории бозонных струн в разд. 2.1.3. Сначала анализ
будет проведен для классической теории, а затем в следующем разделе он
вновь будет рассмотрен в контексте квантовой теории.
Имеется всего четыре локальные бозонные симметрии: две
репараметризационные инвариантности мировой поверхности, одна локальная
лоренцева симметрия и одна симметрия относительно изменения масштаба.
Локально они могут быть использованы для приведения калибровочными
преобразованиями диады к стандартному виду еаа = 6". Аналогично две
суперсимметрии (е) и две суперконформные симметрии (т]) могут быть
локально использованы, чтобы четыре компоненты %а прирав-
6X^ = 0, 8f = -yA^,
(4.3.85)
й%а = ФаЛ>
Ьеаа = = бХ* = 0,
(4.3.86)
264
4. Суперсимметрия мировой поверхности
нять нулю. В этой калибровке действие упрощается до глобально
суперсимметричного действия (4.1.2), и уравнениями движения являются
просто уравнения
дадаХ" = 0, (4.3.87)
роади = 0. (4.3.88)
К ним нужно добавить уравнения движения полей и %а, полученные в
калибровке el = б", %а = 0. Этими уравнениями являются обращения в нуль
тензора энергии-импульса и супертока на мировой поверхности:
= = (4.3.89)
Т'ар = + -j (а<Зр) г|3ц - (след) = 0. (4.3.90)
Эти условия представляют собой суперсвязи Вирасоро, в конце концов
выведенные на основе имеющейся калибровочной поверхности.
4.4. Современное ковариантное квантование
Проквантовать суперструну RNS можно с помощью той же техники, что была
использована в разд. 2.4 для бозонной струны. Правда, при этом
присутствие в теории спинорных полей приведет к появлению бозонных духов,
ассоциированных с локальной суперсимметрией на мировой поверхности, в
дополнение к обычным. При правильном включении этих духов полная
супералгебра Вирасоро будет свободна от аномалий при правильном выборе
размерности и массы основного состояния. Поскольку все построение
аналогично уже описанному случаю бозонной струны, наше изложение будет
предельно кратким.
4.4.1. Духи Фаддеева - Попова
Мы показали в разд. 3.1.1, что функциональный интеграл по* пространству
метрик /гар можно заменить на интеграл по конформному фактору ф и
параметрам репараметризации Такая возможность возникала постольку,
поскольку любая данная метрика могла быть получена из некоторой
фиксированной метрики с помощью преобразований локального растяжения и
замены переменных. Но для мировых поверхностей рода g > О получить таким
способом все возможные метрики не удается. Вместо этого множество метрик
разбивается на классы эквивалентности, которым отвечают точки некоторого
конечномер-
4.4. Современное ковариантное квантование
265
етого пространства, пространства Тейхмюллера. Однако всеми этими
сложностями можно пренебречь, коль скоро мы не собираемся реально
вычислять интегралы по поверхностям рода .g > 0, а всего лишь намерены
ввести духовые координаты и BRST-заряд и подсчитать критическую
размерность.
В гл. 3, зафиксировав локальную репараметризационную инвариантность, мы
были вынуждены ввести антикоммутирующие духовые координаты и ср с
конформной размерностью 2 и -1 соответственно. В случае суперструн эти
координаты тоже присутствуют, но кроме них появляются дополнительные
духи, •связанные с локальной суперсимметрией на мировой поверхности.
Сейчас мы выведем действие для этих духов, но несколько иным, чем для
бозонных струн, способом. На классическом уровне утверждение, что поле %а
может быть откалибровано, означает, что его всегда можно представить в
виде
Хо = Фа'П + Vae,- (4.4.1)
и при разумно выбранных граничных условиях это представление однозначно.
Поэтому в функциональном интеграле мы можем сделать замену переменных,
перейдя от к т| и s. После такой замены можно опустить интегралы по т] и
е, поскольку они являются параметрами преобразования симметрии и действие
от них явно не зависит. (Вообще говоря, это - несколько упрощенное
рассуждение: в теории могут быть и другие поля, преобразующиеся
нетривиально при преобразованиях с параметрами т) и е, но и более строгое
рассуждение приводит к тому же ответу.) Однако делать отсюда вывод, что
