Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 113

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 212 >> Следующая

функциями координат, в точности как в супергравитации.
У действия (5.1.5) есть еще одна локальная симметрия. Эта симметрия
бозонная, и ее преобразования задаются скалярным параметром А.(т):
60л = Л0Л,
6^ = г0лГ^60л.
6е = 0. (5.1.17)
Для 0 закон преобразования тот же, что и при g-репараметри-зациях, однако
для других координат формулы другие. Для теории на массовой поверхности
эта симметрия не дает ничего сверх того, что следует из и и-симметрий.
Задача квантования действия суперчастицы нетривиальна, поскольку в
фазовом пространстве у системы есть связь
яе = /Г ¦ лхвЛ, (5.1.18)
где ях и яе - импульсы, сопряженные координатам х и 0. Правила скобок
Дирака приводят к настолько сложным выражениям, что их практически
невозможно распутать, не разрушив лоренц-инвариантности уравнений. То же
самое происходит и с суперструной, которой мы будем заниматься
дальше. Вот почему мы будем работать в конусной калибровке.
5.1.2. Суперсимметричное действие струны Взяв действие для бозонной
струны из гл. 2,
Sbos = - S d2(J ^ h^daX ' (5'1 '19)
и действие для суперчастицы из предыдущего раздела, нетрудно выдвинуть
очевидного кандидата на роль суперсиммет-ричного действия суперструны:
5, = - J d2a л/7Г /гаРПа • Пр, (5.1.20)
где
n^dX-teVdo^. (5.1.21)
Локальная репараметризационная инвариантность и iV-cynep-симметрия этого
выражения очевидны. Однако это не то действие, которое мы ищем. При таком
обобщении потерялась ло-
286
5. Пространственно-временная суперсимметрия
кальная и-симметрия. В результате переменные 0 описывают в два раза
больше степеней свободы, чем нужно. Кроме того, уравнения движения
образуют сложную нелинейную и поэтому совершенно неподдающуюся анализу
систему. К счастью, имеется возможность добавить к действию второе
слагаемое 5г(5 = = 51+5г) так, что полное действие будет обладать
локальной х-симметрией. Половина компонент 0 в результате опять
отщепляется, и появляется возможность полностью решить уравнения
движения, по крайней мере в некоторой специальной калибровке.
В отличие от случая суперчастицы конструкция, которая восстанавливает и-
симметрию, работает не для всех N. Нам придется положить N 2, т. е.
суперсимметрий будет не больше двух. В дальнейших формулах у нас будет
две координаты 01 и 02, что соответствует случаю N = 2. Случаи N = 1 или
N = О можно будет получить, положив одну или две из 0 равными нулю.
Дополнительное слагаемое, которое надо ввести для получения
суперсимметричного действия суперстурны, имеет следующий вид:
S2 = ± 5 d2 a {-ie^dX (ё'где1 - ё2г11эре2) +
+ е^ё'гЧв'ё^дрО2}. (5.1.22)
Альтернирующий символ е°$ является тензорной плотностью, и поэтому здесь
нет множителя л/h. Как видно из формулы, 5г полностью независимо от А"Р.
По этой причине оно и не дает вклада в тензор энергии-импульса Та$.
Довольно сложно устроенное слагаемое S2 обладает, однако, очевидными
глобальной лоренцевой и локальной репарамет-ризационной инвариантностями.
Для проверки его глобальной суперсимметрии (N = 2) уже требуется
некоторая работа. А именно, рассмотрим преобразования 60л = еА и = =
1&4Г'ЮЛ, где еАа не зависит ни от а, ни от т. Если относительные
коэффициенты двух слагаемых в (5.1.22) выбраны указанным способом, то при
подстановке вариаций часть членов тривиальным образом уничтожают друг
друга. Члены типа
(5.1.23)
являются полными производными, и ими можно пренебречь. В итоге остается
лишь слагаемое, пропорциональное
А = е^е'гХб'в'Г^в01'
(5.1.24)
5.1. Классическая теория
287
и еще одно, полученное заменой 1 на 2. Чтоб исследовать это выражение,
распишем его в компонентах (опуская верхние индексы) :
а = ёг^ег^е' - ёг^егцб = а{ + а2, (5. i .25)
где
а , = [ёг^еэг^э' + ёг^е'бг^э + ёг^её'г^э], (5. i .26)
a2 = y [ёг^еег^е' + ёг^'ёг^о - гёг^ет^е] =
= [ег^еэг^] -[ёг^еег^е]. (5.1.27)
А2 оказывается полной производной, и им можно пренебречь. В результате
остается Ai, которое мы перепишем в виде
Ах =2ёГ(Хф[1'ф2Гм''фз1. (5.1.28)
Скобки означают, что произведение спиноров (фь г|з2, фз) = = (0, 0', 0)
антисимметризовано. Это выражение имеет в точности ту же структуру, что и
выражение, возникавшее у нас при исследовании суперпреобразований в
суперсимметричной теории Янга - Миллса и приведенное в приложении 4.А.
Там мы установили, что есть четыре способа обратить его в нуль. Ясно, что
этот вывод справедлив и в нашем случае. Итак, S2 будет суперсимметрично,
только если реализуется один из четырех вариантов:
(i) D = 3 и 0 - майорановский спинор;
(ii) D = 4 и 0 - майорановский или вейлевский спинор;
(iii) D = 6 и 0 - вейлевский спинор;
(iv) D = 10 и 0 - майорано-вейлевский спинор.
Итак, классическая теория суперструн (в данном формализме) существует
лишь в четырех указанных выше случаях '). Соответствующее утверждение для
бозонных струн звучит иначе, классическая теория существует в любой
размерности. Такая ситуация, однако, не должна нас удивлять, ведь хорошо
известно, что суперсимметрия налагает ограничения на D уже на
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed