Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
5.2. Квантование
Структура гамильтоновых связей у суперсимметрнчного действия суперструны
такова, что процедура квантования оказывается чрезвычайно сложной, если
не вовсе невыполнимой, и мы отложим ее обсуждение до разд. 5.4. К
счастью, теория очень легко и изящно квантуется в калибровке светового
конуса, которой мы сейчас и будем заниматься. В результате мы придем к
формализму, который в сравнении с другими подходами значительно упрощает
вычисление многих амплитуд. Несколько примеров таких вычислений мы
приведем в последующих главах.
5.2. Квантование
293
5.2.1 Калибровка светового конуса
Для определенности мы будем считать в дальнейшем, что D = 10 и что
спиноры 01 и 02 -маорано-вейлевские. С несущественными изменениями этот
анализ можно применить и к случаям D = 3, 4 или 6 при условии, что
выбраны соответствующие спиноры. Однако в этих размерностях перестает
обращаться в нуль коммутатор //_] из алгебры группы Лоренца. Как мы
выяснили в разд. 5.1.4, при ?) = 10 и двух спинорных координатах 0
имеются две физически неэквивалентные возможности: киральности 01 и 02
могут либо совпадать, либо быть противоположными.
Набору локальных инвариантностей (репараметризацион-пой, вейлевской и
фермионной х-симметрии) отвечает соответствующий набор калибровок. В
частности, если этому не препятствуют аномалии квантовой теории, мы можем
воспользоваться первой инвариантностью, чтобы положить ha$ = х\а$, как
это обычно и делается. Мы пренебрегаем пока глобальными эффектами,
которые могут появиться в петлевых диаграммах. Однако уравнения движения
при этом не линеаризуются, как это происходило с действиями из предыдущих
глав. Необходимо еще использовать остаточную репараметризационную
инвариантность и ^-симметрию и фиксировать калибровку светового конуса
следующими условиями. Во-первых, используя я-симмет-рию, мы можем
наложить условие
Сюда входят конусные компоненты десятимерных гамма-матриц
но их сумма невырождена. Следовательно, ровно половина их собственных
значений должна быть нулями. Поэтому калибровка (5.2.1) равносильна
условию обращения в нуль половины компонент 0. Как раз столько компонент
должны отщепляться вследствие локальной и-симметрии. Теперь уравнения
движения для Х+ и Х', полученные из (5.1.43), превращаются просто в
свободные волновые уравнения, и, как и в бозонной теории, мы можем
использовать оставшуюся конформную инвариантность, чтобы наложить условие
Г^О1 -Г+02 = О.
(5.2.1)
г±=7Г(г°±г9).
(5.2.2)
(5.2.3)
Х+ (а, т) = х+ + р+т.
(5.2.4)
294
5. Пространственно-временная суперсамметрия
Это означает, что все моды а+ с п =?= 0 считаются равными нулю, в
точности как в разд. 2.3.3. В гл. 4 мы установили, что спинор общего вида
в десятимерии имеет 32 компоненты. Условие Майораны делает эти компоненты
вещественными, а условие Вейля обращает половину из них в нуль, оставляя
тем самым 16 вещественных компонент. Условие калибровки светового конуса
уменьшает их число еще вдвое, и в итоге мы получаем всего восемь
вещественных компонент. Единственная симметрия, которая явно остается в
калибровке светового конуса, - это вращательная инвариантность в восьми
поперечных измерениях. Поэтому восемь компонент, которые выживают у
каждой 0, можно рассматривать как восьмимерное спинорное представление
поперечной группы 50(8), или, более точно, ее накрывающей группы spin
(8). Алгебра Ли для группы 50(8) = D4 имеет ранг 4, и отвечающая ей
диаграмма Дынкина обладает дополнительной симметрией, называемой
триальностью, которая описывается группой автоморфизмов из шести
элементов. Эти автоморфизмы осуществляют перестановки между
неэквивалентными неприводимыми представлениями одинаковой размерности.
Например, имеются три восьмимерных неприводимых представления. Одно - это
фундаментальное векторное представление 8V, которое очевидным образом
вещественно. Два; других - это спинорные представления 85-и 8С. Они тоже
вещественны, что прямо следует из триальности. Для индексов-представления
8V мы будем использовать буквы г, /, k (например, Х'), для индексов 8S -
а, Ь, с и а, Ь, с -для индексов 8С. (Во всех этих случаях верхние и
нижние индексы эквивалентны.) Подробности относительно свойств групп 50
(2п), и,, в частности, группы 50(8), можно найти в приложении 5.А.
Обозначив восемь остающихся в калибровке светового конуса компонент 0
буквой 5, мы получаем
Вопрос о том, какое из двух представлений, 8S или 8С, возникает в данном
конкретном случае, решается в зависимости от того, какую киральность
имеет в десятимерии соответствующая 0. Можно принять соглашение, что 51
будет типа 8S. Тогда для теорий типа I и IIB 52 тоже будет принадлежать к
8S, а для. теории типа II А - к 8С. При выписывании явных формул мы>
будем использовать обозначения 51а и 52а, как это должно быть. в первом
случае, но и вторую возможность следует иметь" в виду.
Vp+ 61 -> 51а или 51й, л/р+ в2-*- S2a или 52<i.
(5.2.5)
(5.2.6)
5.2. Квантование
