Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
где
ОО
N = D (aUai + (4.3.63)
П"=1
Множитель 8 возникает из-за вырожденности основного состояния и из-за
учета проекции Г = 1 для каждого массового уровня. (Она просто устраняет
половину состояний, которые иначе присутствовал^ бы.) В формуле для /д(ш)
нет множителя, содержащего s/w, так как основное состояние безмассового
фер-миона соответствует случаю, когда N = 0. Взятие следа приводит к
формуле
оо
М") =8 П (-??)'• <4-364>
m = 1
Теперь мы можем задаться вопросом, действительно ли на каждом массовом
уровне имеется одинаковое число бозонов и фермионов. В этом случае
выполнялось бы тождество
fNs{w) = fR(w) = F(w). (4.3.65)
Знаменательно, что это тождество было впервые доказано в 1829 г. Якоби,
который назвал ее "довольно непонятной формулой" (aequatio identica satis
abstrusa). Читатель должен проверить, что каждое выражение имеет
следующее разложение:
f(it)) = 8(l+ 16а; + 144йу2 +...). (4.3.66)
3jo наблюдение, конечно же, не может служить доказательством
суперсимметрии, но вселяет большую надежду. Само доказательство будет
изложено в следующей главе.
4.3.4. Локально суперсимметричная форма действия
До сих пор теория суперструн излагалась в рамках формализма с
суперсимметрией мировой поверхности, но нам хотелось бы подвести под нее
более прочную логическую основу. Вместо того чтобы просто постулировать
суперусловия Вирасоро, мы хотим вывести их в виде связей, возникающих
вследствие фиксации калибровки в калибровочно инвариантном лагранжиане.
Для бозонной струны условия Вирасоро возникли вследствие фиксации
калибровки в лагранжиане с двумерной общей ковариантностью; для
суперсимметричных струн суперусловия Вирасоро должны появляться в
результате фиксации калибровки в двумерном лагранжиане, обладающем как
локальной суперсимметрией, так и общей ковариантностью. Это
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
257
означает, что мы должны преодолеть ряд технических трудностей. Необходимо
выяснить, каким образом вводятся спиноры на искривленной мировой
поверхности, и сформулировать теорию двумерной супергравитации.
Ввести фермионы в общую теорию относительности не так просто. Причина
этого заключается в том, что общековариант-ные преобразования (в D-мерии)
преобразуют бозе-поля преобразованиями из группы GL(D,R) (где GL (D, R) -
группа обратимых вещественных D X D-матриц), а эта группа не имеет
спинорного представления. Спинорное представление есть у группы Лоренца,
поэтому известно, как спиноры должны преобразовываться при
преобразованиях Лоренца. Однако совсем не ясно, как они должны
преобразовываться при общековари-антных преобразованиях (называемых также
диффеоморфизмами), не являющихся преобразованиями Лоренца. Этот вопрос
обсуждается в учебниках по общей теории относительности, и мы сможем
подробнее изложить его в гл. 12, где понятие спиноров в общей теории
относительности будет использоваться для того, чтобы ознакомить читателя
с определенными геометрическими и топологическими идеями. Здесь же мы,
преследуя лишь прагматические цели, попытаемся дать некоторое введение,
достаточное для наших потребностей в данном разделе.
Рассмотрим спиноры на D-мерном' многообразии М. Из принципа
эквивалентности следует, что в каждой точке многообразия существует
инерциальная система отсчета. В этой системе отсчета преобразования
Лоренца вполне осмысленны. Можно считать, что они действуют на (плоском)
касательном к многообразию пространстве, построенном в рассматриваемой
точке. В локальной инерциальной системе отсчета мы вводим базис е(tm), т =
О, . . ., D- 1, ортогональных касательных векторов. Итак, для каждого т
е(tm) является касательным вектором; ц является векторным индексом этого
вектора (касательного к многообразию М), тогда как т является его
номером. Конечно, такой выбор несколько произволен: если мы подействуем
преобразованием Лоренца на индекс т, то "репер" е(tm) преобразуется в новый,
но столь же подходящий базис касательных векторов. Эти вопросы более
основательно рассматриваются в гл. 12. Индекс ц, вектора е(tm) преобразуется
как любой другой векторный индекс при диффеоморфизмах многообразия М. Так
как лоренцев индекс т является просто номером касательного вектора е(tm), то
относительно этого индекса при диффеоморфизмах многообразия М вектор е(tm)
преобразуется как скаляр. Но из-за того, что в каждой пространственно-
временной точке выбор базиса е(tm) является произвольным, мы вправе
осуществить
258
4. Суперсимметрия мировой поверхности
локальные SO{D-1, ^-преобразования, действующие на "локальный лоренцев
индекс" т.
Преимущество введения репера заключается в том, что группа Лоренца SO(D-
1, 1) допускает спинорные представления. Таким образом, спинорные индексы
должны рассматриваться как локальные лоренцевы индексы. Говоря, что е(tm)
являются ортонормированными касательными векторами, мы имеем в виду то,
что метрический тензор многообразия и метрика Минковского rimn
касательного пространства связаны соотношениями
