Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
будет обсуждаться в разд. 4.3.3.
4.3.1. Калибровка светового конуса
В бозонной теории, изложенной в гл. 2, мы видели, что даже в теории с
ковариантной калибровкой /г<хр='Пар имеются остаточные калибровочные
инвариантности, которые позволяют сделать последующие выборы калибровок,
в частности калибровки светового конуса. Модель RNS в том виде, в каком
мы ее до сих пор обсуждали, является в действительности вариантом с
фиксированной калибровкой для модели, обладающей суперсимметрией мировой
поверхности и сформулированной ниже в разд. 4.3.5.
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
241
В гл. 2 мы видели, что репараметризационная инвариантность теории
бозонной струны позволяет наложить дополнительное калибровочное условие -
калибровку светового конуса. Здесь мы обсудим аналогичную формулировку в
калибровке светового конуса для модели RNS. Это обсуждение будет в какой-
то мере построено на догадках, так как систематическое изложение
локальной суперсимметрии мировой поверхности мы отложим до разд. 4.3.5.
Напомним, что в теории бозонной струны остаточная репараметризационная
инвариантность, сохраняющая выбор кова-риантной калибровки, была как раз
достаточна для того, чтобы калибровочным преобразованием устранить
плюсовые компоненты всех ненулевых мод осцилляторов, так что
Х+ (ст, т) = л;+ + р+х. (4.3.1)
Такие рассуждения проходят до тех пор, пока Х+ удовлетворяет двумерному
волновому уравнению, так что им можно с тем же успехом воспользоваться и
в данном контексте. Однако теперь остается еще свобода сделать
преобразования локальной суперсимметрии, сохраняющие выбор калибровки.
Эти преобразования как раз оказываются достаточными для того, чтобы
калибровочными преобразованиями полностью устранить г|5+, так что мы
можем выбрать калибровку
г|з+ = 0. (4.3.2)
Чтобы убедиться в непротиворечивости такого выбора, заметим, что при
преобразовании глобальной суперсимметрии
6Л:+ = ёг|з+ = 0, (4.3.3)
так как я()+ = 0, поэтому калибровочное условие на Х+ не меняется в
результате такого преобразования.
Для начала сосредоточим наше внимание на секторе открытой бозонной струны
и определим (ст*) = г|5^ (ст+) для ст > О и ='ф^(ог~)для а < 0
(напоминая, что о± = (т±о), а д± = = (дх ± да)/2). Разложение оператора
^(т) по модам дано в (4.2.53). Соответствующие разложения для замкнутых
струн содержат моды с двойными экспонентами. Разложения оператора
приводились в разд. 2.1.2 частности, д+Х,1 =
- -j- ctrt?_m(T+a)^. Вспомогательные связи, означающие об-
242
4. Суперсимметрия мировой поверхности
ращение в нуль операторов Ja и Тар, принимают вид
г|з • д+Х = 0 (4.3.4)
и
(a+J)2 + -i-^+^ = 0. (4.3.5)
Выбрав калибровочные условия д+Х+=-^-р+ и г|з+ = 0, эти
уравнения можно решить для компонент светового конуса г|з_ и д+Х~:
д+х~ = -L (д+Х1д+Х1 + 4- Vд+V) . (4.3.6)
oT = -Wd+Xf. (4.3.7)
Р
Через фурье-моды эти решения записываются следующим образом:
+ ? (г -л/2> : •' ) " fr * (4-3-8>ч
- оо ^
D-2 оо
6Г=-?г ^ : (4.3.9)
^ i = l - оо
Как обычно, для моды а~ требуется нормальное упорядочение.
Из сравнения с формулами разд. 4.2.2 очевидно, что р+а" и
р+Ь7 удовлетворяют супералгебре Вирасоро с аномальными членами
А (m) = D 8 2 (m3 - m) + 2am, (4.3.10)
B(r)=^=^(r*- 1/4) +2a. (4.3.11)
В общем случае калибровка светового конуса несовместима с квантовой
структурой теории. На самом деле, требуя, чтобы в этой калибровке
удовлетворялась лоренцева алгебра, можно вывести ограничения на
размерность пространства-времени и-на параметр а точно так же, как это
было сделано в теорию
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
243
бозонной струны. Подставляя в ковариантные формулы (4.2.19) я (4.2.20)
вместо а* и bf их выражения, мы получим
? =/( =0, (4.3.12)
ОО
1
п=1
Е( = -I ^ - (aLnan - а-пЯп), (4.3.13)
п= 1
оо D-2
/С'"=4г ? ? /C-Ui, (4.3.14)
D
^ гг= -оо / = 1
где
/СЙ = -4-?(&т-г^-&?.-г#). (4.3.15)
- 00
а а~ дается формулой (4.3.8). Как и в теории бозонной струны, легко
проверить, что генераторы группы Лоренца
/(xv = /(xv ?lxv (4 3 л
удовлетворяют всем соотношениям обычной лоренцевой алгебры, за
исключением равенства с коммутатором кото-
рый должен обращаться в нуль.
Для доказательства того, что Л~] - 0, в основном требуются те же самые
методы, которые использовались в разд. 2.3.1 для теории бозонной струны в
калибровке светового конуса. Вновь гарантируется сокращение четверных по
осцилляторам членов как следствие лоренцевой инвариантности в
классической теории. Нужно внимательно вычислить только члены,
квадратичные по осцилляторам. Определив Z>v = № -|- ?^v, мы имеем J'- =
L'~ + К'~- Процедура, идентичная той, что была использована в разд.
2.3.1, теперь дает
оо
[z/_, L'~\ = - (р+)-2 Z Дт (a-mCtm - aLmam), (4.3.17)
m = 1
где
= + (4-3.18)
Отличие от предыдущего результата связано с тем, что в коммутаторе [а~,
а~] изменился аномальный член. Чтобы завершить вычисление, воспользуемся
тождествами
[Km, ап] = mKm+n (4.3.19)
