Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
4.1. Классическая теория
227
полей -ф_ и г|з+ относительно друг друга - это вопрос соглашения, так что
без потери общности положим
¦ф+ (°, т) - 'ФЯ (0, т). (4.1.50)
Относительный знак на другом конце теперь становится осмысленным, и нужно
рассмотреть обе возможности. В первом случае (граничные условия Рамона
(R))
^ (л, т) = ^ (я, т), (4.1.51)
и разложение по модам решения уравнения Дирака принимает вид
т)--7Т (4.1.52)
n<=Z
4Ho,,) = ^TY,d"e-,''"+°>, (4.1.53)
где суммы берутся по всем целым п. Во втором случае (граничные условия
Невё - Шварца (NS)) выбирают
¦ф+(л, т) = -^ (л, т), (4.1.54)
так что разложение по модам имеет вид
T) = T7f b*e~ir{x~a), (4.1.55)
'V reZ+l/2
<(or, т) = -^ ? b"re~ir{x+°\ (4.1.56)
^ reZ + I/2
где теперь суммы берутся по всем полуцелым г. Мы всегда используем символ
тип для обозначения целых чисел, а г или s для полуцелых, так что г-1/2
или s-1/2 являются целыми. Как будет объяснено в следующем разделе,
граничное условие (4.1.51) и целые моды подходят для описания струнных
состояний, которые являются пространственно-временными фермио-нами, тогда
как граничное условие (4.1.54) и полуцелые числа связаны с бозонными
состояниями. Конечно, эти бозонные состояния отличаются
от состояний струнной бозонной теории
в гл. 2.
Для замкнутых струн поверхностные члены обращаются в нуль, когда
граничные условия являются периодическими или антипериодическими для
каждой компоненты -ф в отдельности. Таким образом, мы можем иметь
it? = Zd"e-2ln<x-a) (4.1.57)
228
4. Суперсимметрия мировой поверхности
ИЛИ
= Z bX2ir-ix'a) (4.1.58)
и
•ф+ = Z йу~21п(х+а) (4.1.59)
или
Ф+= Z b*e-2ir(x+a). (4.1.60)
В соответствии с различным выбором пар мод, движущихся влево и
вправо, имеются четыре разных сектора замкнутой
струны, которые будем называть секторами NS-NS, NS-R,
R-NS, R-R. Как будет объяснено ниже, в первом и последнем случаях
описываются состояния замкнутой струны, являющиеся бозонами, а двух
других случаях - фермионами.
Супероператоры Вирасоро определяются модами операторов Тар и Ja. Для
открытых струн имеется один независимый набор операторов Lm, определенных
точно так же, как и в гл. 2, линейной комбинацией
?"=45 <Ь,У"*Г" + г-шТ.З = ± (4.1.61)
0 -Л
Фермионные генераторы нашей алгебры мы определим формулой
Fm = ^-\ da {elmaJ+ + e~imaJ_} = I daeimaJ+ (4.1.62)
71 J П J
0 -Я
в случае граничных условий Рамона и формулой
Gr = ^-\ da {eiraJ+ + e~iraJ_) = \ doetraJ+ (4.1.63)
О -Я
в случае граничных условий Нёве -Шварца. В теории замкнутых струн имеются
два набора супергенераторов Вирасоро. Один дается модами операторов Т++ и
/+, а другой - модами операторов Т__ и В классической струнной теории все
эти выражения должны просто обращаться в нуль. В квантовой теории, как и
в случае теории бозонной струны, имеются различные возможности для работы
с ними. Мы обсудим эти возможности в следующих разделах.
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
229
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
В этом разделе мы опишем квантование суперструны, используя технику,
примененную в разд. 2.2 для квантования бозонной струны. Суперсвязи
Вирасоро на физические состояния налагаются и анализируются по существу
точно так же, как раньше налагались и анализировались связи Вирасоро.
Единственной новой чертой является наличие двух секторов, бозонного и
фермионного, которые необходимо изучать по отдельности. В конечном счете
спектр должен обрезаться условиями GSO, которые мы еще не объяснили, и
два этих сектора оказываются связанными пространственно-временной
суперсимметрией. Этот факт скрыт очень глубоко, и объяснить его - крайне
нетривиальная задача в рамках формализма, описанного в этой главе.
4.2.1. Коммутационные соотношения и разложения по модам
В ковариантной калибровке (изложенной в разд. 4.3.5) динамика координат
Х**(а, т) и ^(а, т) определяется свободными двумерным уравнением Клейна -
Гордона и уравнением Дирака, к которым нужно добавить еще и определенные
уравнения связей. Квантование этих координат - это просто квантование
свободной двумерной теории поля. Анализ координат X^ не меняется по
сравнению с гл. 2, где было установлено, что
[X* (а, т), Г (а', т)] = -ind (а - а') тГ. (4.2.1)
Это приводит к коммутационным соотношениям для коэффициентов Фурье
К- <\=m6m+nVrv- (4.2.2)
Операторы представляют собой коэффициенты разложения по модам либо
открытой, либо замкнутой струны. В последнем
случае имеется и второй набор операторов, обозначаемых а^.
Так же легко провести квантование фермионных кооординат. Канонические
антикоммутационные соотношения для координат -фд(а, т) суть
{< (а, т), а)>;,(</, т)} = яб (а- а') rfv6AB. (4.2.3)
Отсюда следует, что моды Ьг или сй> введенные в разд. 4.1.4,
удовлетворяют соотношениям
{$, Я] = тГб"+" (4.2.4)
{<С, dl} = (4.2.5)
230
4. Суперсимметрия мировой поверхности
В дальнейшем мы рассмотрим единственный набор мод а^.
и Ьг или соответственно а?, и dm, который используется для описания
