Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
как раз для того, чтобы образовать супермультиплет с вектором А^.
Приписывая каждому из них индексы, соответствующие присоединенному
представлению полупростой группы Ли, мы получаем янг-милл-совский
супермультиплет. Соответствующая лагранжева теория поля описывается в
приложении 4.А.
Только что нами было установлено, что безмассовые фер-мионы при D = 10
должны быть одновременно и майоранов-скими, и вейлевскими. Этим
обеспечивается то, что безмассо-вый сектор образует суперсимметричный
мультиплет. Вейлевское условие означает, что спинор основного состояния
является собственным состоянием матрицы Гц. Для обобщения этого условия
на случай произвольной фермионной массы необходимо ввести оператор
Г==Г"(-l)S"-1',-"''4 (4.3.50)
обладающий свойством
{Г, (й} = о, (4.3.51)
так как множитель Ги антикоммутирует с ~ Р\ а другой множитель в Г
антикоммутирует с модами d", имеющими индекс п =^= 0. Так как поле i|^
линейно по dn, имеет место равенство _
(Г, т)} = 0. (4.3.52)
254
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Именно оператор Г играет в R-секторе роль оператора (-1)F, который мы с
меньшими усилиями определили в секторе NS. Поэтому условие GSO для
физического фермионного состояния принимает вид
Г|Ф) = 1Ф). (4.3.53)"
Оно в точности соответствует условию четной G-четности
G | <р) = | ф), (4.3.54).
где
G = - (_1)2" 1/2 ь-гьг (4.3.55>
для физических бозонов. Операторы Г и G представляют оператор (-1)F
в фермионном и бозонном секторах соответственно.
Для основного фермионного состояния оператор (-l)f сводится к Гп,
оператору киральности, и проекция GSO означает удержание только
безмассовых фермионов положительной киральности в смысле десятимерного
пространства. Любое состояние в секторе Рамона может быть построено
следующим образом:
, ... | а), (4.3.56)
где соответствующее произведение операторов мод (возможно, содержащее и
операторы нулевых мод) действует на безмассо-вое состояние положительной
киральности, и Г = (-l)f. Для такого состояния (-l)f равно (-1)" где п
является числом операторов фермионных мод в (4.3.56).
На первый взгляд кажется, что из условия, наложенного на массивные
фермионы, следует, что они тоже являются вейлевскими, что невозможно.
Вейлевские спиноры не могут быть элементами массивных спинорных
представлений группы Лоренца, так как матрица Гп не антикоммутирует с
матрицей iY-д + m. Однако в теории струн равенство {Г, ^о} = 0 является
точным, а не приближенным, справедливым только для безмассовых состояний,
так что проекция GSO может быть сделана даже для массивных уровней. Чтобы
подробно познакомиться с тем, как это делается, рассмотрим первый
возбужденный фер-мионный уровень. В калибровке светового конуса
возможными состояниями являются a^j| 0) Uj и а'_1|0)ы2; где из условия с
Г следует, что ui и и2 являются майорано-вейлевскими спинорами с
противоположной киральностью:
Гп**! = Щ, Гцы2 = - и2.
(4.3.57)
(4.3.58)
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
255
Объединив эти два спинора, мы получаем майорановский спинор, который
образует неприводимое массивное представление группы Лоренца.
Необходимым условием для суперсимметрии является то, что на каждом
массовом уровне должно быть одинаковое число бозонных и фермионных
состояний. Для безмассовых состояний это следует из (4.3.53). Вейлевская
проекция оставляет восемь -физических безмассовых фермионных состояний,
столько же, сколько имеется распространяющихся мод безмассового вектора.
Посмотрим теперь, сколько бозонных и фермионных состояний находится на
каждом из возбужденных массовых уровней. Это является комбинаторной
проблемой, аналогичной той, которая решалась для бозонных струн в разд.
2.3.5. Там мы видели, что вырождения определяются выражением tr wN. По
существу этот результат лишь с незначительными модификациями справедлив и
теперь. В бозонном секторе нам необходимо учесть проекцию, связанную с G-
четностью, и тот факт, что безмассовый уровень содержит 1/2 единицы
возбуждения. В итоге число состояний с а'М2 - п дается коэффициентом
^Ns(tt) в разложении
/NS И = E/nS (") ^ tr [Т ^ WM] ' (4-3-59>
ОО 00
лг= Z aL"ai + Е rbLrbr. (4.3.60)
1 г = 1 /2
^Напомним, что оператор G совпадает с оператором (-l)f.) Процедура
вычисления следа является непосредственным обобщением примера,
рассмотренного в разд. 2.3.5 для бозонной теории. Новой чертой является
множитель, представляющий со-
2 л Л
<>ой след от 6^-мод, troy т ~г г. Так как каждое фермионное состояние
либо заполнено, либо не заполнено, этот множитель приводит для каждой
моды просто к выражению (1 ~{-wr). Присутствие оператора G в tr GwN
меняет знаки заполненных состояний, приводя на каждом уровне к выражению
(1 - wr). Поэтому в результате для полного следа получаем
L m-1 m=1 J
Вырожденность фермионных уровней находится аналогичным способом с помощью
формулы
/R (w) = 2 dR (п) wn = tr Y (1 + Г) wN = 8 tr wN, (4.3.62)
n=l
256
4. Суперсимметрия мировой поверхности
