Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
киральности').
Уравнение (4.1.41) и бозонное уравнение 0 = д2Х^/даадаа можно записать
так, что станет намного очевиднее, почему возможна симметрия между
бозонами и фермионами:
Следовательно, и| д_Хц являются функциями только а , тогда как г|>+ и
д+Х^ являются функциями только а+. Супер-
и д+^), которые удовлетворяют одному и тому же уравнению.
') Грубой аналогией этого поля было бы поле двухкомпонентного нейтрино в
четырехмерии, но между этими двумя случаями имеется существенное
различие. В четырехмерии частицей, СРТ-сопряженной к нейтринно, является
антинейтрино, имеющее противоположную киральность, ио в двуме-рии С-РГ-
преобразование отображает компоненту гр- в саму себя и допускает теорию,
в которой просто нет фермиона противоположной киральности,
(4.1.41)
тового конуса а± = т + а и д± = (<3Х ± <За). Фермионная часть
Sp==Jk\ ^сгОф-д+'Ф-+ гМ-Ф+) (4.1.42)
0 = (3+^ = a+(<3_^),
(4.1.43)
симметрия - это симметрия между
между
4.1. Классическая теория
225
В силу того что моды с положительной и отрицательной киральностями
оказываются независимыми, ток суперсимметрии мировой поверхности и тензор
энергии-импульса должны упроститься, если их записать через эти моды. В
самом деле, если мы запишем суперток 1ал из (4.1.13) через его компоненты
светового конуса J+a и J-a (где ± помечают компоненты светового конуса
вектора, а А является спинорным индексом), то a priori токи J+a и J-a
являются двухкомпонентными спинорами. Однако фактически в силу (4.1.15)
только спинорная компонента тока J+a с положительной киральностью и
спинорная компонента тока J-a с отрицательной киральностью отличны от
нуля. Удобно обозначать отличные от нуля спинорные компоненты токов J+A и
J-a просто как /+ и
/+=Ч."а+^,
i.-VJ.x,. <41'44)
Они, конечно, сохраняются,
О = Э_/+=Э+/_, (4.1.45)
но какая же алгебра ими генерируется? Используя (анти) коммутаторы при
равных т,
{¦ф^(ст), i|^_ ((/)} = (о), г|>1 (а')} = mfv6 (ст - ст'),
[<Э±^ (ст), d±Xv (ст')] = ± ? тГв' (° ~ а')> <4-1 -46>
{<, = d_Xv] = 0,
можно легко найти антикоммутаторы
{/+(ст), / + (</)} = яб (ст - ст') Г+ + (ст),
{/_ (ст), /_ (ст')} = яб (ст - ст') Т__ (ст),1 (4.1.47)
{/+ (ст), /_(а')} = 0.
Точнее, соотношения (4.1.47) возникают из формальных манипуляций или
скобок Пуассона; в квантовомеханическом описании появляется аномальный
член, который мы рассмотрим позже. Здесь Т++ и Г__ являются конусными
компонентами тензора энергии-импульса:
7-++"3+*Ч*14 + ?<М+,и
(4.1.48)
Т__ = д_Х"д_Х]1 + -i-
Мы хотим теперь сформулировать уравнения связей, которые позволяют
одинаковым образом исключить времениподобные
226
4. Суперсимметрия мировой поверхности
компоненты полей и Напомним, что в бозонном случае времениподобные
компоненты вектора исключались (в
26-мерии!) с помощью условий Вирасоро Т++ = Т________= 0. Есте-
ственно стремиться повторить этот успех и здесь. Но в силу алгебры
(4.1.47) мы вряд ли можем ожидать, что Т+ + и 7\__ могут быть приравнены
нулю без одновременного приравнивания нулю токов /+ и Таким образом, мы
должны возлагать наши надежды на суперусловия Вирасоро
0 = J+=J_ = T++-T________. ; - (4.1.49)
Конечно, имеется большая разница между этой догадкой и нашим более
систематическим обсуждением в случае бозонной теории. Действительно, в
бозонном случае мы вывели условия Вирасоро как уравнения связей, которые
возникают из-за фиксации калибровки в калибровочно инвариантном
лагранжиане. В суперсимметричном случае мы просто постулировали равенства
(4.1.49). Супер условия Вирасоро (4.1.49) могут быть выведены
систематически фиксацией калибровки в соответствующем лагранжиане
двумерной супергравитации, но обсуждение, необходимое для этого, намного
сложнее, чем в бозонном случае. Читателю, желающему ознакомиться с
систематическим выводом равенств (4.1.49), предлагается сразу перейти в
разделу 4.3.5 (который можно читать независимо от материала, изложенного
ниже). Здесь же мы примем равенства (4.1.49) как правдоподобные и
проанализируем содержание получающейся в результате теории.
4.1.4. Граничные условия и разложения по модам
Прежде всего мы должны проанализировать возможные граничные условия и
посмотреть, что же представляет собой теория без связей. Это также
сложнее сделать, чем в чисто бозонном случае.
Пространственно-временная координата X*1 удовлетворяет тому же самому
уравнению, что и в теории бозонной струны. Возможные граничные условия
соответствуют открытым или замкнутым струнам, и получающиеся в результате
разложения по нормальным модам остаются полностью теми же, что и раньше,
поэтому нет необходимости их здесь повторять. В случае фермионных
координат при варьировании лагранжиана с целью получения уравнений Эйлера
- Лагранжа появляются поверхностные члены. Для обращения в нуль этих
членов необходимо, чтобы на каждом конце открытой струны занулялось
выражение - гр-бгр- Этого можно достичь, взяв на каждом
конце ^+=±11)- (и, следовательно, 6г|з+ = ±6г|з_). Знаки
