Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, нулевая мода связи приводит к волновому уравнению
С^о - Iх) I 'Ф) = 0. (4.2.41)
Мы ввели произвольную константу р в это обобщенное уравнение Дирака. Она
пропорциональна массе фермионного основного состояния. Так как Fq = L0,
из (4.2.41) следует, что
(10-.и2)|Ф> = 0. (4.2.42)
При переходе от классической теории к квантовой в операторе Fо не
появляется неоднозначность, связанная с нормальным упорядочением, так что
довольно трудно увидеть, каким образом может возникнуть отличное от нуля
число ц при некотором разумном изменении смысла фермионного оператора. В
самом деле, так как Fo является антикоммутирующим оператором, добавление
к нему (коммутирующего) с-числа выглядело бы крайне неестественным. Наш
поиск состояния с нулевой нормой немедленно подтверждает, что такой
способ действия не является предпочтительным, так как состояние |ф> = =
fo|^> имеет нулевую норму при ?о|ф> = Fi|^> = 0 (L0 и Fi приводят к
бесконечному набору условий), но только на массовой оболочке при [х = 0.
Поэтому это - первое семейство фер-мионных состояний нулевой нормы.
Второй набор может быть записан в виде
| q) = F0F_l\$), (4.2.43)
где
FIK) = (L0+ 1)К) = 0. (4.2.44)
Отсюда очевидным образом следует, что 77о|Ф)=:=0. Состояние является
физическим состоянием с нулевой нормой, если оно аннулируется оператором
L\. Проведя несложное вычисление, получаем
?,|1|>)=(тД-т)|*>; (4-2-45>
таким образом, D = 10 и для критической размерности в фер-мионном
секторе.
4.2.3. Вершинные операторы, описывающие испускание бозонов
В теории суперструн, как и в теории бозонных струн, для того чтобы
построить операторы физических состояний, образующих алгебру, порождающую
спектр, можно воспользоваться вершинными операторами. (Конечно, они
полезны и для явного
4.2. Квантование - старый ковариантньш подход
237
построения амплитуд.) Можно рассмотреть три случая. Первый случай - это
испускание специфического бозонного состояния на массовой поверхности из
бозонной струны, второй - испускание такого состояния из фермионной
струны. Третий случай - это испускание физического фермионного состояния
на массовой поверхности из бозонной струны, которая превращается в
фермионную струну, и наоборот. Последний случай затрагивает намного более
сложные вопросы и требует привлечения более сложной математики, чем
первые два. Кроме того, его не нужно рассматривать при построении
алгебры, порождающей спектр, которая используется для доказательства
теоремы об отсутствии духов. Дело в том, что для доказательства этой
теоремы достаточно доказать, что духи отсутствуют и в бозонном, и в
фермионном секторах по отдельности; нет необходимости рассматривать
оператор, который преобразует бозоны в фермионы и наоборот. Оператор,
описывающий испускание фер-мионов, обладал бы этим свойством. Однако
вершина, в которой испускается фермион, важна и по другим причинам, и мы
обсудим ее в гл. 7.
Начнем с рассмотрения процесса испускания бозона из бозонного состояния.
В разд. 2.2.3 мы установили, что физический вершинный оператор должен
иметь конформную размерность J = 1 для того, чтобы его компонента с
нулевым импульсом отображала физические состояния снова в физические.
Этим результатом без каких-либо изменений можно воспользоваться и при
решении данной проблемы, но теперь история на этом не кончается. Чтобы
отображать физические состояния снова в физические, оператор должен еще
правильно коммутировать с операторами Gr. Взяв в качестве кандидата
вершинный оператор V = У(т = 0), предположим, что существует другой
оператор W, такой, что для каждого reZf 1/2
Заметим, что мы ограничиваем возможности выбора оператора W, требуя,
чтобы оператор V был независимым от г. Это условие приемлемо, когда W
является бозонным оператором (на мировой поверхности), но когда W -
фермионный оператор, его необходимо заменить антикоммутатором. Так как
V(0) = [Gr, W (0)].
(4.2.46)
мы получаем
(4.2.47)
(4.2.48)
Используя определения
V (х) = eiLaXV {0)e~iL°x
(4.2.49)
238
4. Суперсимметрия мировой поверхности
и определение оператора с конформным спином /,
[Lm, V (т)] = etmx (-i -\- mJ^V (т), (4.2.50)
легко показать, что V имеет конформную размерность / = 1 тогда и только
тогда, когда W имеет конформную размерность /=1/2.
В качестве первого простого примера рассмотрим оператор W(0)= ; eife-*(o)
; _ (4.2.51)
Это выражение имеет конформную размерность /==1/2 при k2 = 1, что
является условием массовой поверхности для основного тахионного состояния
в бозонном секторе. Соответствующий вершинный оператор имеет вид
У (0) = [Gn № (0)] = k ¦ г|> (0) : eik'¦*"" : , (4.2.52)
или
V (т) = k • гр (т) : eik'XM : ,
где
оо
Ъ"(т) = ^=?#е~1ГХ- <4-2-53)
- оо
Очевидно, что вершинный оператор в (4.2.52) имеет размерность /=1, так
как каждый сомножитель имеет размерность /=1/2 и они коммутируют. Таким
образом, V является подходящим вершинным оператором для испускания
тахионного основного состояния (называемого "пионом" в первых статьях по
