Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
244
4. Суперсимметрия мировой поверхности
И
[К% Кп] = -i (Km + nb,k - Ktt+ntf - Km + пЬ11 + An*") +
+ m (6ik6il - flV*) 6m+n (4.3.20)
и выведем равенство
[К1-, К'~] + [LК'~] + [Г~, L}~] =
оо
= (Р+)~2 ? m (aimaim - aima'm). (4.3.21)
I
Объединяя эти результаты, мы видим, что лоренцева алгебра
удовлетворяется, если только D = 10, а а = 1/2.
4.3.2. Теорема об отсутствии духов и алгебра, порождающая спектр
Доказательство теоремы об отсутствии духов основано на расширении
аналогичного доказательства из бозонной теории. Ввиду того что в бозонном
и фермионном секторах эти доказательства почти в точности идентичны, мы,
чтобы не повторяться, рассмотрим только бозонный сектор. Как и в нашем
обсуждении бозонной теории, изложенном в гл. 2, мы еще к тому же построим
операторы, порождающие спектр теории.
Начнем, как и в разд. 2.3.2, с построения операторов ДДФ, которые
описывают физические поперечные возбуждения. Там мы рассмотрели вершинный
оператор безмассовой векторной частицы с поперечной поляризацией, где
выходящим импульсом является nkо, а вершинный оператор должен действовать
на состояния с импульсом р^ = - Nk^. Импульсы ko и ро
определяются так, что k^ = р$ = - 1, р^ = 1, = kc0 = pl0 = 0.
Кроме того, п и N являются целыми. В силу (4.2.55) подходящим оператором
является
V* (nkо, т) = [X1 (т) - V (т) k • г|) (т)] einX+ №. (4.3.22)
Тогда, как и раньше, операторы
2я
А'п = {V1 {nkо, т)> = -L J dxV1 (п, К, т) (4.3.23)
о
удовлетворяют равенству \Lm, Л"]=0, если они действуют на состояния с
импульсом р", на которых они корректно определены. В случае суперструн
также необходимо, чтобы оператор Ah коммутировал с Gr, если он должен
отображать физические состояния в физические, чтобы его можно было
включить
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
245
в алгебру, порождающую спектр. Это устанавливается с помощью (4.2.48) и
того факта, что W имеет конформную размерность 1/2, откуда следует, что
[Gr, V'(nk0, х)] = e~^[L2r, Wl (nk0, x)] =
= etrx^i^_ + r)wi(nko! T). (4.3.24)
Тогда
[Gr, An\ = -i (±- (eir%Wl (nko, t))) = 0, (4.3.25)
так что An может принадлежать алгебре, порождающей спектр. Эти операторы,
как и в теории бозонной струны, находятся во взаимно однозначном
соответствии с поперечными осцилляторами а1п. Однако теперь нам нужны
дополнительные поперечные фермионные операторы В\, которые
соответствовали бы осцилляторам blr.
Можно построить поперечные операторы В\, которые годятся для того, чтобы
включить их в алгебру, порождающую спектр, даже несмотря на то, что
соответствующий вершинный оператор отсутствует. При этом используются
формулы
Z' (k) = -2^k -^(k- Xyll2eik'x, (4.3.26)
y'(A) = [Gr, Z'{k)] =
= |г|/ (k ¦ X)m - Xlk • ф (k ¦ ХУ112 -
- -j- tfk • # • -ф (6 • Z)"3/2} eik'x, (4.3.27)
S'=(yI'H0, г)). (4.3.28)
Необычные дробные степени приводят к корректно определен-
ным выражениям в данном контексте по причинам, изложенным в разд. 2.3.3.
Этот оператор удовлетворяет соотношению
{Gr, В1) = 0, (4.3.29)
как и требовалось, так как Zl(k) имеет размерность /=1/2 при k2 = 0.
Алгебра операторов Ah и В1Г может быть выведена с помощью тех же приемов,
которые были использованы в разд. 2.3.2. Получается, что
[Ат, Ап] =тб''бт+п,
[А'п, В'] = 0, (4.3.30)
{В', В'} = бЧ+5.
246
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Таким образом, эта алгебра изоморфна алгебре поперечных осцилляторов а'"
и Ь1Г и приводит к явно положительному пространству Фока.
Состояния ДДФ являются состояниями, получающимися в результате действия
операторов ДДФ на основное состояние произвольного уровня. Состояния,
образующие ортогональный базис в пространстве состояний ДДФ, обозначаемые
через |/>, удовлетворяют тем же условиям, что и в бозонной теории, а
именно
Lm\f) = 0, Km\f) = 0, m> 0 (4.3.31)
(где Km = ko-am для m> 0), а также фермионным условиям
Gr\f)~ 0, Hr\f) = 0. (4.3.32)
Операторы Нг определяются следующим образом:
Hr = ko-bm~bt (4.3.33)
То, что Нг аннулируют состояния ДДФ, очевидно из того факта, что
операторы ДДФ не содержат никаких степеней оператора Ьт-
Мы можем теперь выразить полный базис состояний в объединенном
пространстве Фока всех бозонных и фермионных осцилляторов сектора NS
через базис, образованный бозонными и фермионными состояниями ДДФ и их
ортогональным дополнением. Этот базис составляют состояния, образованные
действием произвольных степеней операторов L-m, К-п (определенных в разд.
2.3.3), G-r и #_г. Произвольное состояние этого типа имеет вид
пЧ12 n&2f2 г?г rXl Т%п
U-1/2U-3/2 • • • KJ-rL-1 . . . L-n
Я-(/2 ... H6JsK-\ ... K-mm\f), (4.3.34)
где |/> является произвольным состоянием ДДФ. Фермионные числа заполнения
ег и 8S равны нулю или единице, а
2 гег 4" 2 А/ + X 4" 2 fai - Р > 0. (4.3.35)
Число Р является номером уровня над уровнем состояния ДДФ ]/>. Как и
в разд. 2.3.3, такие состояния линейно независимы
для любого выбора |/>, если матрица Жр их скалярных произ-
ведений имеет для любого выбора Р отличный от нуля детерминант. Это вновь
