Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
теории.
За исключением аномальных членов, соотношения (4.2.29) легко вычисляются
канонически; например, последнее уравнение в (4.2.29) просто
соответствует фурье-модам соотношений (4.1.47). Можно привести аргументы,
подобные тем, которые приводились в бозонном случае, в пользу того, что
аномальные члены
должны быть с-числами. Как и в бозонном случае, их проще
всего найти, вычисляя средние по основному состоянию в пространстве Фока.
Мы получим, что
А (т) = 4" D (т3 - т),
(4.2.30)
В (г) ~i-В (г*
В аномалию А (т) две трети вклада дают а-осцилляторы и
одну треть - fe-осцилляторы. В фермионном (R) секторе полу-
чается очень похожая алгебра
[Lm> Ln] ==z (т Lm+n A (tn)
[Lm, Fn\ = (y m - n) Fm+n, (4.2.31)
{Fm, Fn} = 2Lm+n+B(m)bm+n,
234
4. Суперсимметрия мировой поверхности
где теперь аномалиями служат
A (m) = -J- Dm3,
, (4.2.32)
В (m) = -g- Dm2.
При желании можно устранить расхождение между выражениями (4.2.30) и
(4.2.32), переопределив L0 сдвигом ее на константу. Мы считаем принятые
здесь определения достаточно удобными.
Заметим, что в секторе NS пять генераторов Li, La, L~\, G1/2, G-i/2
образуют замкнутую супералгебру. Эта алгебра известна как алгебра
OSp(l|2), и ниже мы обсудим ее подробнее. Ситуация в фермионном секторе
совершенно иная. Как только мы добавим к операторам Lb L0, L_i оператор
F0, получится вся бесконечномерная алгебра.
В старом ковариантном подходе уравнения связей вводятся в квантовую
теорию требованием, чтобы их положительно-частотные компоненты
аннулировали физические состояния. Поэтому, поступая так же, как это было
сделано в разд. 2.2.2, мы потребуем, чтобы физическое состояние ] ф>
удовлетворяло следующим условиям:
Gr | ф) = 0, г > 0, (4.2.33)
Ln |Ф) = 0, п> 0, (4.2.34).
(L0 - а) | ф) = 0, (4.2.35);
где а - постоянная, которую нужно найти. Весь бесконечный набор условий в
(4.2.33) и (4.2.34) следует из двух специальных условий G1/2IФ>= G3/2IФ>
= 0, если воспользоваться алгеброй (4.2.29).
Теперь мы хотим определить очень важные в теории значения величин а иО.
Вспомним, каким образом в гл. 2 решался вопрос с духами в теории бозонной
струны. Для значений а и D из определенной области духи существуют, а для
значений из оставшейся области они отсутствуют. Когда а и D принимают
значения на границе этих двух областей, в теории имеются дополнительные
состояния с нулевой нормой (которые близки к тому, чтобы стать духами).
Нахождение дополнительных состояний с нулевой нормой при специальных
значениях а и D¦ может помочь нам выделить область тех их значений, при
которых духи отсутствуют; что более существенно, эти состояния очень
важны с физической точки зрения, так как они связаньк с калибровочными
инвариантностями, и граничные значения а.
4.2. Квантование - старый ковариантный подход
235
и D, при которых появляются состояния с нулевой нормой, действительно
представляются интересными.
Поэтому начнем изучение физических состояний, как и в разд. 2.2.2, с
поиска специальных значений а и D, при которых появляются состояния
нулевой нормы, отсутствовавшие при формулировке теории. Основное
состояние |0;&> находится на массовой поверхности для k2/2 = а, поэтому
возбужденное со-состояние G_i/2|0;&> находится на массовой поверхности
при k2/2 = а-1/2. С другой стороны, если а = 1/2, то это состояние
удовлетворяет условию физического состояния Gi/2 I ф>= О и является
состоянием с нулевой нормой, <ф|ф)=0. Оно имеет отрицательную норму, если
а больше чем 1/2. Так что а = 1/2 является как раз нужным значением а,
аналогичным значению а = 1 в теории бозонной струны. Это опять приводит к
тому, что основное состояние является скалярным тахионом, а первое
возбужденное состояние (6-1/21 0)) - безмассовой векторной частицей.
Выбору а = 1/2 соответствует бесконечное семейство физических состояний с
нулевой нормой, которые определяются как G-1/21 ф>, где состояние |ф>
таково, что Gi/2] ф>=03/2|ф> = = ?о|ф> =0.
Попробуем теперь найти критическую размерность, построив второе семейство
состояний с нулевой нормой вида
I ф) = (G-3/2 + ^G_i/2^_i) | ф), (4.2.36)
где
Gi/2|cp> = G3/2|cp) = (Lo+ 1)1Ф) = 0. (4.2.37)
Воспользовавшись супералгеброй Вирасоро, легко показать, что
G1/2I Ф> = (2 - Л.) Z._t | ф>, (4.2.38)
G3/2I Ф> = (D - 2 - Щ | ф). (4.2.39)
Таким образом, ф - состояние с нулевой нормой при Ъ = 2 и
D = 10. Поэтому число десять является критической размер-
ностью. Мы покажем, что эта размерность играет роль, совершенно
аналогичную той, которую играет размерность D = 26 в теории бозонной
струны. В частности, распространяющиеся физические состояния могут быть
поставлены в соответствие состояниям в пространстве Фока, построенным с
помощью восьми поперечных компонент мод а" и
Обратимся теперь к фермионному сектору. Вновь требуется, чтобы физическое
состояние обращалось в нуль при действии иа него положительночастотной
компоненты оператора связи
Fn\H>) = Ln\$) = 0, п> 0.
(4.2.40)
236
4. Суперсимметрия мировой поверхности
