Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 103

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 212 >> Следующая

<7 = Г" ?>трп
(c)jiv *mn ji v*
Т) mn = gWemen (4.3.67)
Мы воспользовались символами для обозначения обратного репера, ae = Vg'-
для его детерминанта. Репер имеет на у D (D- 1) больше компонент, чем
тензор g^v, и соответствует
его антисимметричной части. Однако в то же время появляется много
дополнительных локальных симметрий, соответствующих локальным
преобразованиям Лоренца, так что число распространяющихся мод остается
неизменным. Локальная лоренцева симметрия очень похожа на обычную янг-
миллсовскую симметрию. По аналогии с янг-миллсовским потенциалом (или
связностью) А|х нужно ввести спиновую связность со(tm)", калибровочное поле
для локальных лоренцевых преобразований. При ин-финитезимальном
лоренцевом преобразовании, которое описывается параметром (r)тп = -Впт,
вариация спиновой связности равна
да(tm) = d(J(c)mrt + [а^, &]тп = (0^&)тп. (4.3.68)
Мы вводим гамма-матрицы Гт, которые удовлетворяют стандартной дираковской
алгебре {Гт, Г"} =-2цтп. Правила, по которым при лоренцевом
преобразовании преобразуется спинор if, даются формулой
вф = - Т (r)тпГ(tm)У' (4.3.69)
где обозначение Ттпр используется для полностью антисиммет-ризованного
произведения матриц ГтГяГр .... В частности,
Гт" = у[Гт, Г"]. Ковариантная производная спинора опреде-
ляется формулой
^ = (4.3.70)
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
259
Основное значение такой ковариантной производной состоит в том, что закон
преобразования Ьцф не содержит производных от параметра 0, и поэтому
ковариантная производная преобразуется как тензор указанного типа.
В искривленном пространстве мы вводим гамма-матрицы
Действие для спинора (дираковского или майорановского) в гравитационном
фоновом поле имеет вид
Очень полезно в качестве упражнения показать, что оно инвариантно
относительно и общековариантных, и локальных лорен-цевых преобразований.
До сих пор мы ничего не говорили о том, чем должна быть спиновая
связность, за исключением того, что она преобразуется как калибровочное
поле при лоренцевых преобразованиях. При желании можно рассмотреть
теорию, в которой спиновая связность является просто новым
распространяющимся полем. Однако если мы хотим обсуждать стандартную
общую теорию относительности, то спиновая связность не должна быть новым
произвольно построенным объектом, а должна определяться (с точностью до
локальных лоренцевых преобразований) метрикой. Как же ее нужно
определить? В общей теории относительности метрический тензор является
ковариантно постоянным, а формула (4.3.67) показывает, что репер есть
нечто вроде корня квадратного из метрики; поэтому естественно
потребовать, чтобы репер был ковариантно постоянным. Действительно, если
ковариантная производная репера не равна нулю, то она будет величиной,
которая не имеет аналога в стандартной общей теории относительности.
Следовательно, мы потребуем, чтобы
Подсчитывая количество уравнений и неизвестных, мы видим, что эти
уравнения однозначно определяют спиновую связность. Требование
ортонормальности (или, что эквивалентно, выполнение равенств (4.3.67))
также определяет репер с точностью до лоренцевых преобразований; поэтому,
вводя репер и спиновую связность, мы не меняем содержание общей теории
относительности. Тензор кривизны Римана может быть определен как
напряженность поля Янга -Миллса, построенного из спиновой связности, т.
е.
(*) = (*) Гт.
(4.3.71)
(4.3.72)
(4.3.73)
- 5v(r)r + К- (4-3-74)
260
4. Суперсимметрия мировой поверхности
В самом деле, правая сторона формулы (4.3.74) является тензором,
определяемым не более чем двумя производными от метрики (так как спиновая
связность с помощью равенства
(4.3.73) неявно выражается через метрику), так что он должен быть
тензором Римана. Конечно, это можно проверить и непосредственно.
В качестве нетривиального примера применения реперного формализма кратко
обсудим (N = 1)-супергравитацию в четы-рехмерии. В эту теорию кроме
репера и спиновой связности входит также поле Рариты - Швингера х^ц со
спинорным индексом А и векторным индексом ц. Действие дается формулой
S = J йЧе {- Jjj- /? - -L x^DvXp}. (4.3.75)
где R - emSnR^v является скаляром кривизны, а к - гравитационной
константой взаимодействия (планковской длиной), квадрат которой
пропорционален ньютоновской константе. Матрицы Дирака в четырехмерии
записываются строчными буквами (у11 и т. д.). Приведенное выше действие
обладает общей ковариантностью и локальной лоренцевой инвариантностью.
Менее очевиден тот факт, что оно обладает еще локальной суперсимметрией.
Преобразования суперсимметрии, относительно которых оно инвариантно, суть
= ¦- D^e, (4.3.76)
бе|Г = - Т ¦ (4.3.77)
Понятно, что спиновая связность со"" должна определяться как решение
соответствующего классического уравнения поля (которое является просто
алгебраическим). Это приводит к добавке, билинейной по полям Хц> к
обычному выражению, получающемуся при решении уравнения (4.3.73). Для
доказательства суперсимметрии нет необходимости знать, как преобразуется
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed