Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
со, так как ее вариация умножается на левую часть ее же полевого
уравнения, которая равна нулю.
Только что описанная теория была первой предложенной теорией
супергравитации; ее открытие послужило началом новой области
исследований, которая вместе с другими направлениями сыграла важную роль
в развитии теории суперструн. И сейчас исследование супергравитации
является обширной областью, имеющей много различных граней. Мы здесь не
будем обсуждать те из них, которые непосредственно не связаны с теорией
суперструн, и даже некоторые из связанных с ней.
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
261
4.3.5. Суперструнное действие и его симметрии
Для того чтобы вывести связи, которые должны сопровождать действие с
фиксированной калибровкой (4.1.2), необходимо сформулировать более
фундаментальный принцип действия. Из аналогии с бозонным случаем ясно,
что при этом желательно иметь инвариантность относительно
репараметризации. Однако схема, в которой суперусловия Вирасоро могут
возникать как калибровочные условия, требует в то же время наличия
локальной суперсимметрии. Необходимость в локальной суперсимметрии
следует из того факта, что коммутатор двух преобразований суперсимметрии
приводит к трансляции мировой поверхности в действии с фиксированной
калибровкой. Это означает, что кроме физических координат ^(сх, т) и
^(сг, т) мы должны еще включить в рассмотрение "диаду" е"(ст, т) и поле
Рариты - Швингера %ла(<т,т) (двухкомпонентный майорановский спинор и
вектор мировой поверхности).
Репараметризационная инвариантность на мировой поверхности (двумерная
общековариантная инвариантность) и двумерная локальная лоренцева
инвариантность обеспечиваются заменой действия (4.1.2) на действие
S2 = - J d2°e {^даХ%Х^ - rij>Vvо'Фц}- (4.3.78)
Используя ферми-статистику, можно показать, что спиновая связность не
дает вклада в спинорный член, поэтому Va мы можем заменить на да¦ В этом
проявляется особенность майора-новских спиноров в двумерии. Действие S2
все еще не обладает локальной суперсимметрией. При преобразованиях
(4.1.23) с функцией е, зависящей от ст и т, на которую не наложено
никаких ограничений, получается вариация, пропорциональная
интегралу ^ {sj0e)Jad2a, где /" является супертоком, введенным
в разд. 4.1.1:
/а = (4.3.79)
Дальнейшее построение теперь осуществляется "нётеровским методом". Введем
суперсимметричное калибровочное поле %а (гравитино) с преобразованием
суперсимметрии
= Vae. (4.3.80)
(Здесь а является векторным индексом, поле %а имеет еще спинорный индекс,
который явно не выписывается.) Полученная
262
4. Суперсимметрия мировой поверхности
выше вариация может быть скомпенсирована варьированием поля в члене
S3 = -~ ^ d2crexaPePa^p^n- (4.3.81).
Однако вариация координаты в этом выражении приводит к дополнительному
члену с Ve вида
XaPV^MVpE = - гМ)ийарРраУре. (4.3.82)
Это слагаемое может быть компенсировано добавлением к действию другого
члена вида
= - \ йг2сг^^м.'Фи5СаРрРаХр- (4.3.83)
Полное действие S=S2 + S3 + S4 теперь инвариантно относительно
преобразований локальной суперсимметрии
6Z^ = ёг|з^, бг|з^ = - ipae (д<Д^ - oj^a),
беа = - 2гёра5са, (>Ха = Vae. (4.3.84>
В полученном результате стоит отметить несколько моментов. Прежде всего в
отличие от теории супергравитации с D>2 поля еаа и %а не имеют
кинетических членов. К найденному действию можно было бы добавить
действие Эйнштейна - Гильберта ~ ^ eRcPa, являющееся топологическим
инвариантом
(пропорциональным эйлеровой характеристике). Однако это не повлияет на
классическую теорию. У гравитино вообще отсутствует кинетический член.
Выражение %aPaPvVp%Y просто обращается в нуль, так как в двумерии нет
антисимметричного-тензора третьего ранга. Коммутатор двух преобразований
суперсимметрии приводит к комбинации преобразований других локальных
симметрий с коэффициентами, зависящими от полей, как это обычно бывает в
теориях супергравитации. Даже для этого нужно воспользоваться уравнениями
движения для ферми-полей. Формулировку в терминах суперпространства из
разд. 4.1.1 можно обобщить и на этот случай, получив замыкание алгебры
вне массовой оболочки. Однако описание того, как это срабатывает, завело
бы нас слишком далеко, особенно если учесть, что такая формулировка не
требуется для остальной части нашего изложения.
Кроме описанных выше симметрий действие S имеет еще две локальные
симметрии. Одна из них является расширением локальной вейлевой (или
конформной) симметрии, с которой
4.3. Квантование в калибровке светового конуса
263
мы уже встречались в теории бозонной струны. Вейлевскими
.преобразованиями, оставляющими действие S инвариантным, являются
Существует и другая локальная фермионная симметрия, которая отвечает
преобразованиям
где г] - произвольный майорановский спинор. Для доказательства этого
утверждения необходимо воспользоваться тождеством р"р|вра = 0, которое
выполняется в двумерии. Из всех этих симметрий вместе следует, что
