Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
численного решения плоской контактной задачи о вер-| тикальном погружении
ударника. Соответствующую систему! функциональных уравнений согласно п. 4
§ 6.1 запишем в следующем виде:
w(x, х) - // G, (х - ?, т - *)Г(!, t)dt dg, I х \ < aJt), f
Dns(x, т)
I
w(x, x) = h(x) + /(*) + U(fy, h(r) = / V(t) ft,
0
= ч
<6114>
a2(0=/ (-h-u^
II 2
mV(r) = f Rg(t) dt + J R(t) dt, R(t) = J* T(x, t) dx,
0 ^ 0 -a2(0
*2(0 I
322
ще V-скорость погружения ударника, a R-результирующая реакция контактных
напряжений.
Построим дискретный аналог системы (6.114) для сеточных функций,
определенных в § 6.5. Первое уравнение заменим соотношением (6.111). Для
одномерных интегралов используем метод прямоугольников. Тогда разностные
уравнения, соответствующие интегралам по времени, будут иметь следующий
вид:
*n-l fn
*" = J V(t)dt + / V(t)dt " hn l + Vn_x6,
(6.115)
fn-\
Vn - Vl + <*.*-1 + Rn-
Для реакции R с учетом (6.103) и симметрии напряжений Т(х, т) получим
следующую формулу:
l. h Л
Rn = l I П*, tn)dx ~ 25 (Тп0 + 2'2 Т\.
/=-'Л-1 /-1
(6.116)
Таким образом, разностная схема для системы (6.114) явная и имеет
следующий вид (и > 1, 0 < m < /^):
Т = F - W /ё, W = h + / + и", пт пт пт ' пт п J т
сО
•"¦Vi + Vi*. = <""7>
*" = м(7'* + 22 Ц- >.=rH-bn-uj,
Сеточная функция, • соответствующая скорости изменения области контакта
v(r) = а2(т), определяется формулой (3.141):
vn=~V/f(bn). (6.118)
Для системы (6.117) должны быть заданы начальные условия при п = 0.
Контактные напряжения в начальный момент времени т = 0 для общего случая
задачи найдем из (6.1) с использованием преобразований Лапласа и Фурье:
SW > /*2' (Рр /*2' (Р1> /*2' ^)'
1/Oj, Р2, 0) = ^(Pj, р2, 0)lim , />2, s) = (6.119)
S-* 00
= />2, 0), T(Xj, л2, 0) = -w(Xj, x2, 0).
323
Тоща с учетом выражения для w(x, т) в (6.114) и (6.14) получим
начальные условия для системы (6.117):
Ао = 0, Vq = F03, Т0т = - Vq3 (0 < m < Iq). (6.120)
Оценки и расчеты для обратной к (6.112), (6.113) одномерной задачи с
граничными условиями
х3=°
'13
х3=°
(6.121)
показывают, что относительная погрешность для напряжений не превосходит 3
%. При этом использовалось только первое уравнение в (6.117) при п 2 5.
Сравнения расчетов с точным решением на сверхзвуковом участке,
представленным на рис. 4.14 и 4.15, а также с результатами [172] для
штампа с фиксированной областью контакта также показывают хорошее
совпадение.
В качестве примера использования построенного алгоритма рассмотрим
задачу для эллиптического ударника с большой полуосью а - 1 и
направляющей, заданной уравнением:
3>3
= /О) = V1 - x!cl, е = Vl - с2,
мс0
(6.122)
где с-малая полуось, е-эксцентриситет.
На рис. 6.4-6.7 даны результаты расчетов при VQ3 = 0,
R = Н(х), m = л, е = 0,6. Коэффициенты квадратурных формул
Рис. 6.4. Результирующая сила R контактных напряжений и скорость V
погружения ударника
324
вычислялись с точностью е = 10 4. Шаг сетки <5 = = 0,002.
пт
На рис. 6.4 и 6.5 приведены зависимости от времени скорости ударника V,
результирующей силы для контактных напряжений R, а также геометрических
характеристик области контакта-по-
Рис. 6.5. Полуширина а2 области контакта Q и скорость v ее изменения
-Т,70~2
_L 1 I 1 ~Т.....Г.....¦
""Ч-. ! 1 1
- ! !
| _1 1 J 1
г1=оУт^>
t-- -0,0$ 1 \| \ 1
г -с{ I- \
1 1 !
1 1
¦---сз ! ------- 1 1 Г
1 I 1 1 ; | 1
1 1 ! !
1
Рис. 6.6. Распределение напряжений Т по области контакта Й (штриховые
линии - границы области)
луширины а2 и скорости изменения v = а2. Как следует из рис.
6.5, сверхзвуковой этап взаимодействия в данном примере отсутствует.
Поэтому точное решение, данное в гл. 4, здесь вообще не может быть
использовано.
Рисунки 6.6 и 6.7 демонстрируют распределение напряжений Т по области
контакта в различные моменты времени т и зависимость их от времени в
различных геометрических точках
325
-Г, 10~2
Рис. 6.7. Зависимость напряжений Т от времени т (штриховые линии -
