Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(6.71)
+ Я(-АТ*1Ь)) I X01 I " Т)Я^* I x02 I "
T)'
Я*1,б(х' т) = ЯЛ1,1(Х' т) + Я*1,з(х> T) + я*1,5(х> T)'
Hk\j(X' T) = Hk2,\(X' T) + Hk2,2^X' X^' Яа,/Х' T) = Ям/_Х'
306
В явном виде интегралы (6.69) могут быть вычислены лишь в
ограниченном числе случаев. Например, положим, что на-пржения Т(х, т)
распределены по области ?2 равномерно:
Т(х, т) = -р0Я(т),
(6.72)
и ?2 расширяется равномерно (функция а2(т) определяется равенствами
(4.41)). Тоща функции х.(т) и точки вычисляются по формулам (4.42) и
(4.43). Выражение для интегралов Wk в
(6.69) упрощается. В частности, согласно (6.71) коэффициенты Н/со o' **ki
1 и 5 имеют тот же Вид' а для остальных получим:
нк1,г(х' т) = ~ Vkv0)H(x ~ V/c I *oi I )я(т " Пк I *02 I )>
Hkl/X> T) = H(~x2WT " Чк I *0I I № - Vk I *02 I )+
+ Я(хj) [Я(х02) + Я(-х2) ]Я(т - | х01 | )H{rjk | x02 | - t),
ii ii (6.73)
Hk\,4,^ T) = H(~xi)H(l ~ Укьо)Н(г ~ Чк I xoi I )Я(^ I x02 I " T)>
Hk1>8(x, r) = 0.
Выполняя в интегралах Fkijj) в (6.70) замену переменной
интегрирования, получим
w" - wo - w" ! Г" * ~ *
Z =
^1,7" = **,№ " ^1,/0 = -Роя(0^(2)
1/чк ,
-Щк
At = т - t,
At
x,(0/Af
-x2(0/Af
(i= 1,2), (6.74)
(7=1,5, 8),
/*(*) = j G/jt(z, 1) dz, y-z) = -Ik{z).
0
Корни многочлена P3(z, 1), как показано в § 2.5, зависят от
дискриминанта А3(а:) (2.73). Для определенности рассмотрим
случай А$(к) >0 \к < к"), которому соответстуют три действительных корня
(2.75) (см. также рис. 2.2):
7>3(z, 1)=76(г-ф(г-ф(2-ф,
Zj - z2 - ?2> z3 ~
0 - Z1 ^ llrlk *Z2K z3-
(6.75)
307
Тогда, раскладывая рациональные функции в (6.53) на сумму элементарных
дробей, интеграл /^(z) представим следующим
образом:
(tm) т=О
**& = ^ Vl - w2z2' = ^ 7^2 ^Т7/Т~ГГ
О V1 v о (z _ bm)V 1 - j^z
6у- у!Ф2(1-Ф
=9 1) '
,2 (easl)t
А10=-Г}\ А20 = 0, 1) = 1),
^3^2,з) = 9 (^2,3 - ^1 ^2^2,3' 1)'
1) = -Р$1 1) = 2 Va4-^2, g>3 = a2 + Va4-^2.
Многочлен /"2(z, 1) опредлен в (2.75), а коэффициенты связаны с
использованными в (2.123) коэффициентами ак, Ък и ск так:
АкО = ~^к(ак + V' Akl = hiak' hi = " 9*2^1 '
А ^2 А " (6.77)
л &2 к т к ь ./ 2*2 7" / ^
km ~ h p,(t2 n' hm~^Tlk^m 1 (w - 2)-T^m' '
Вычисление интегралов /^m(z)[145] приводит к следующему результату
для /^(z):
4 , ll^ + ^Vi-^z2!
** ?z) = 5*oarcsinV + Vn-V [ zs - gi j---------------
A It z
- 2 Bkm aresin "vpr- J , (6.78)
Из (6.78) найдем значения IJz) в точках, соответствующих пределам
интегрирования в (6.74):
(6-79>
4(0' x.(ty mJL'
1--- -ч* At mf L
> ' 1
"-Ч. н
¦
кО
A t
+ В.л In "1
| Zklx.(t) + StVAJ2 - ffi(Q
V]x](o -?Vi
+ 2*k
m-
y &. arcsin -j я я ¦¦¦
*m V?2 A*2 - x2(t) =z iv'
%kmx№
J
Подставляя выражения (6.74) и (6.79) в (6.70), с учетом формул (4.42)
для х.(т) приведем функции т2) к
следующему виду:
Р0Щт)
^ло,о(т1> тг) - " 4 ^г2 ~ Ti)" У ~ Дт'
V
Р(Л(т) 2
^1,7^1' Тг) = ^k2j(rV хт) = ~ ~ 2 Jki(y)
Щ "
(6.80)
РоН(т)
Wki;"vb) = --214-. *7
IA*(t2 - Tl) +
(i = 1, 2;/= 1, 6), где интегралы /^.(y) определяются так:
^ = 2 BbnJuJy-Ь xi = х/т)'
m=О
, , * г • 9 А - V) ,
7ьо(>) = J arcsm-------у------dy'
(6.81)
hiJy) = Iarcsin **vzl (у)"} =у2~ " V)2
309
z,m" - - (*, - v)2 - (? - $ O' - у,"," - w-
*i *i
•^iml ? - v' ^im2 ? + v
ът 0 sm 0
Процедура вычисления интегралов J^nSy) достаточно громоздка. Приведем
соответствующие результаты:
Vk(Xi ~ v)
Jkio(y) = y^csm--- ----+ rj^L^y),
г м- 1 [мг1^^1 ,
~ ^?klXiLk№}'
hijy) = -У arcsin + *,• ^Цч.(у) + (6.82)
