Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
моменты появления границы области контакта)
области Q. Вертикальные штриховые прямые на этих рисунках указывают
соответственно на расположение границы области контакта и моменты ее
появляются в данных точках. Кривые на рис. 6.6 и 6.7 не доходят до
границы х = а2(т)> так как
численный алгоритм не позволяет получить эти результаты. Для исследования
поведения напряжений в окрестности границы области контакта на дозвуковом
участке необходимы дополнительные исследования, подобные проведенным в §
4.6-4.9.
Аналогичные расчеты, проведенные для ударников, ограниченных другими
алгебраическими поверхностями второго порядка, показали, что зависимости
для контактных напряжений имеют тот же вид, что и в данном случае.
Отметим также качественное отличие в характере распределения напряжений
при сверхзвуковой и дозвуковой скорости расширения границы области
контакта (см. рисунки 4.14 и 6.6).
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Скорость движения поверхности в заданном направлении,
В динамических контактных задачах возникает вопрос о скорости
движения линии пересечения двух подвижных поверхностей вдоль одной из
этих поверхностей. В том случае, когда одна из поверхностей является
плоскостью (см., например, (3.24", с этим вопросом естественно связана
задача о скорости движения подвижной поверхности
П(0: г = гп^1'^2'^ (АЛ)
в направлении вектора I, не параллельного касательной плоскости к
поверхности П(?).
Как правило, определяется скорость движения поверхности в направлении
внешней нормали к ней [166]. Она является частным случаем искомой
скорости.
Будем считать, что поверхность П(<) гладкая. Рассмотрим два положения
поверхности в моменты времени t и t + Д<. Скорость vl движения
поверхности (А.1) в направлении / определим так:
А г
vi = lim
д7> д/ - о m
(А.2)
А г = гп(? j, %2, t + At) - гп(? j, |2, t), А г = XI, X > 0.
Последнее равенство указывает на то, что параметры ^ и ?2
выбираются не произвольно, а так, чтобы приращение было коллинеарно
вектору /. С учетом гладкости поверхности положим, что существуют
производные
?.(*)= Кш -Чгг1 0 = 1.2). (А.З)
1 At-* 0 АГ
Тогда из формул (А.2) и (А.З) найдем
у/ = 'n.i^i + гп,2^2 + уп =
(А.4)
327
Векторы Гд j, Гд2 и / могут рассматриваться как векторы ковариантного
базиса а.:
а1 ~ Гп,1' а2 = Гп,2' °3 = (вГ а2' аз) *
Величины (-|j), (~13) и А являются контравариантными координатами v*
вектора vn:
vn = t/о., vx = -ij, v2 = -|2, v3 = A.
Отсюда для третьей координаты t/3 имеем
з i , Зч з ^ei' e2^
v = А = (v", а ), а = 7------------г.
П (aVa2a3>
(А.6)
Подставляя (А.6) в (А.5)) и далее в формулу (А.4), найдем , выражение
для искомой скорости ,
(Гп,г гп,2' vn) . (vir ^ ,
V/ ('n.i. rkv О (*. о
^ГП,1'ГП,2^'
(А.7) ]
где АГ-нормальный вектор к поверхности П(г). I
В случае неявного задания поверхности П(/) в прямоугольной 1
декартовой системе координат *,х2*3 |
П(0: f{xvxvxyt) = О (А.8) |
из (А.7) получим следующий результат: I
(А.9)
у -----------L----I
vi (grad/, I) '
(grad/, vn) + / = 0, vn = (хг x2, x3).
При I = N приходим к формуле, указанной в [166].
Б. Геометрические характеристики контактной задачи
Приведем формулы вычисления геометрических характеристик S23 и 1213
при плоскопараллельном движении ударникбв, '
ограниченных тремя типами алгебраических поверхностей второго'
328
порядка, рассмотренных в § 3.5. Согласно (3.90)-(3.92) в системе
координат 02ZjZ2 (см. (3.109)) эти величины равны:
52,3= // (Х3_ Uc3> dzl dz2' I2,13= SS <*3~ исз) z\dz\ dz2' *Б1) Q
Q
ще граница dfl эллиптической области Q определена выражением
(3.115).
Учитывая формулы (3.108) и (3.109), из (Б.1) найдем
1 2 S2 з = - 2 S2 1
sin + (>33 C0S ^ ~ Uc3 sin + S2fCOS
(Б.2)
^2,13 = ~ Wll Sin 29 + (>33 C0S* " Uc3 s^)S2,X +
+ Zj0 Sy cos & + I у cos i>.
Характеристики S, S2{w I2n определены в формулах (3.124), а интегралы Sy
и Iy имеют следующий вид:
Sy = // /()(^ cos 0 + Д0, ?2) d%2'
Q
О
^ = я т*хcos*+v ^ "1 "2* (Б-3)
Яо
*1 = zi - Z10' *2 = Z2' A0 = Z10 008 ^ + "c3 Sin *'
ще граница dQQ области является эллипсом с полуосями а2 и Ь2:
