Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горшков А.Г. -> "Динамические контактные задачи с подвижными границами" -> 104

Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.

Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами — М.: Наука, 1955. — 352 c.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiekontaktniegranici1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

x0/l
Я(г- |х0.|). (6.98)
Исследование выражений в (6.95)-(6.98) показывает, что перемещение
гу(х, т) является ограниченной функцией. Впрочем этот же вывод следует из
исследования особенностей перемещений для упругой среды, проведенного в §
6.3.
316
§ 6.5. Численный алгоритм определения перемещений
В общем случае задания напряжений (6.52) на границе полупространства
построить аналитические выражения для перемещений типа найденных в § 6.3
и 6.4 невозможно. Интегралы, входящие в представления перемещений,
приведенные в § 6.1 и 6.2, могут быть получены тем или иным численным
методом. Одяако построение квадратурных формул для соответствующих
двойных и тройных интегралов осложняется их многомерностью, переменностью
носителя напряжений, а также наличием не-интегрируемых особенностей в их
ядрах (функциях влияния). Далее приведем один из возможных вариантов
алгоритма для плоской симметричной задачи [55].
Представление (6.12) перемещений w(x, т) запишем так (см. рис. 4.1):
w(x, т) = ff G} (х - |, т - *)Г(?, t)dt <%,
DnS(x,t)

(6.99)
D = {(Г, ?) | t > 0, 111 S a2(0} = {(<, I) | t > 0,| G ?2(0),
S2(t) = [-(%(t), a^f) ], S(x, r) = {(t, ?)|r - <> | x - 11 },
ще ?2(r) - носитель напряжений на границе полупространства, S(x, т) = Dy-
характеристический конус (см. (6.54).
На плоскости 7?^ нанесем сетку с равномерным шагом <5 (рис. 6.3):
t. = id, = Д л* = и и к., (i = 0,1, 2,...; / g Z),
Ktj = {(г, |) | tt_x < < < < I < |;}. (6Л00)
Функциям одного и двух переменных h(t), /(?) и ^>(?, <) поставим в
соответствие сеточные функции h., f. и <р..:
\ = /у = /(12у)> f'ij = v(hp *<)• (6.101)
Выбор удвоенного шага по пространственной координате | вызван симметрией
задачи, а также спецификой используемых квадратурных формул, которая
будет ясна из дальнейшего изложения.
Тоща из (6.99) в точке г = t и х = |, с учетом симметрии
ft ?ttl
получим
wnm = Я C/^2m ~ ~ *№ 0*# ("> " ± 0, 1, 2...),
D
пт
wn,-m = wnm' Dnm = Dn S(hm> *n)> (6Л02)
S(^2m> = К** Й I * + S(2m ~ n) <? <-t + 6(2m + n)}.

317
it
it-1
¦"V. >ч
ч
дЛ: \ -a.fi)
1 .N
ЛЯ
п ^1i 'v/fo Ь 4 ^ \ ля
у i. №
/ ¦ т
Рис. 6.3. Аппроксимация области D П S и сетка интегрирования (х -
точки сетки)
Построение квадратурных формул интеграла (6.102) включает! в себя три
момента: замена области D на обобщенный!
пт i|
многоугольник Ьпт (многочленная аппроксимация границы | щ ,1 = a2(t) на
каждом из интервалов [f j, t.]), разбиение множества! Ь^т на элементарные
и многочленная аппроксимация подынтегральных функций на каждой из
составляющих области L . При
этом порядки аппроксимации границы и подынтегральных функ- * ций должны
быть согласованы, а также должны быть учтены особенности ядер сверток
(см. (6.102)). Ограничимся кусочно-пос-тоянной аппроксимацией границы
области D и подынтегральных функций, а в качестве элементарных областей
за исключением одного специального случая выберем квадраты \ К...
Возможны квадратурные формулы более высокого порядка I
Ч
3i8
точности. Однако они приводят к существенному усложнению алгоритма.
Таким образом, область интегрирования Dnm заменим на следующий
многоугольник (см. рис. 6.3):
Dnm ~ ^пт = Вп (^пт ^пт) ~ Впт ^пт' п-1
*птт*пП Snm = 2 Pi = ШЗХ *">' (6Л03)
i=l
<7. = min (21.+ 1, *д), Сит= (т < /"), ^(С"т) = 0 (т > /"),
ще
Dn = ИГ) {(t, Z)\tstn}~ вп, S(i2m, tn) " Snm и Лит,
п э/j-i / 1 n_1 jt iW
1=1 1 /=1 i=l il 1
Л = tf+" П S(|" , n, k.=i + 2m-n- 1,
nm i,-" v*2m' re7' /1
&г2 = -i + 2m + n.
В формулах (6.103) Hl. k-полоса, ограниченная вертикальными t = t._ j, t
= i( и горизонтальными ? = (& - 1)<5, ? = Й прямыми;
конус S заменяется на объединение треугольника Апт и вписанного
многоугольника Snm на участке 0 < t < tn l; /и(С) обозначает меру
множества С.
Как показано в § 2.5, ядро Gy(x, г) свертки (6.102) имеет
сингулярную особенность порядка (-1) на фронтах волны Рэлея г = ±cRx.
Поэтому представим его в виде суммы регулярной
и сингулярной составляющих G^. Из (2.67), (2.68) и (2.75)
получим (здесь и далее используются безразмерные параметры
(2.69)):
G/x, т) = IGfr(x, т) + Gfi(x, г) ]Я(т - | х | ),
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed