Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
вид
Р = lim g (t) - lim g(t),
4 f-"-0 t-*a+0
*,(0 = gQs(t) + gjf) - q7s(t), gns(i) =
g(0
ns
(B.6)
Ф = - (s-i)rwt(0 -- (i-1,2).
Для анализа пределов в (В.6), используя формулы (В.5), представим
функции gis(t) (г - 0, 1, 2) так:
%<') - 2L-t + "w- s" = 2 -tP - "A - ")si •
fc=0V' " a)
*=0 SW(a)
k=0
5-1
a* = it!
, /(0 = 2 <^(< - af + ol(t - af l] (t -* a),
k=0
(3.7)
"и-I ,, Ь%-к'
k-0 v ~ a)
"* - 7*i' Ъ - -r<") ^r1 h-г - (* - ?)п"хг*_, -
- sT(a)dk.
Учитывая связь функций S(t) и f(t) с многочленом T(t) (см.
(4.115) и (В.5))
/
Д05(0 = 1, Лопо = 1. "'(О = \ T'(t)f(t),
с использованием формулы Лейбница найдем рекуррентные соотношения для
коэффициентов и
kdkT(a) + [к- |) 7"d,_. + Г "(а) ^ dk_2 = О,
2*а* = T'(a)dk_x + Т "(a)dk_2 (к > 1), aQdQ = 1.
Отсюда следует связь между коэффициентами cgk, ак и Ъ^.
Сак = ~(s ~ к^ак (к - °)' а0 = S(a)'
(В.8)
Кк^~ак (*^°)' с" = 0-
Формулы (В.6)-(В.8) показывают, что
"0,(0 + "1,(0 = as + °(l) (? +0)> s2s(j) = о,
и, следовательно, существует lim г (Л = а и Р = 0.
.5 S S
t-* а
Таким образом, рекуррентные соотношения (В.З) для интеграла К
справедливы для любого s?Z и в обоих рассматриваемых
случаях расположения параметра а относительно отрезка интегрирования (ctj
< а < а2, а2 < а).
К начальным условиям (В.4) необходимо добавить интеграл К ^ (а) при
ctj < а < а^. Согласно формулам (В.5) найдем [145]:
/,(0 = /_j(0 - -щ1п и ~ а| =
= - In S(a) + S(t) + (t - а)
J
S(a)
Ит /, (0 = - -щ In [2S(a)],
(B.9)
av a2) = J_x(t)
2 __
S(a)
in
("j - a) [2S (a) + T\a)(a2 - a)]
(a, - a) [2S (a) + T'(")(". - a)]
1
5(e)
In
("1 " ")("2 " a)(a2 ~ a0
= 0.
Отсюда и из рекуррентных соотношений получаем, что при ctj < а < "2
справедливо равенство:
* (a; "j, "2) = 0 < °)-
(В.10)
Доказательство утверждения 4.3 (§ 4.8). Из утверждения 4.1 и
следствия 4.1.1 можно получить, что для доопределенных соответствующим
образом функций <p.(t, с) и
Ф/^t, е) существуют производные е), Ф^(7, е) ? C(U) для
любого к < s, ще U = [0, т] х [0, ef] (см. рис. 4.9). При этом из формул
(4.111), (4.113)-(4.115) и (4.103) находим, что
п(т>0) = ~ = -"л* ^T'0) = i "="2(т)>
^i(r'0) =
Ф/т, 0) =
r\v + 1' h = h(т).
(В. 11)
(В. 12)
^v2V ,V -1
Далее будем использовать следующую замену переменной интегрирования:
f(z) = ZjZ + z2, f(-l) = av <(1) = a2,
zx = (a2 - "j)/2, z2 = (a2 + ajl2.
При этом, очевидно, <(z) G Cs+i(U), область V = {(?, e) 10 < e < < e ,
a^e) < t < "2(е)} (см. рис. 4.9) взаимооднозначно (за исключением прямой
е = 0) отображается на множество VQ - = [-1, 1] х [0, Cj] в плоскости гг,
и с учетом (4.114) справедливы разложения:
S
2(0) = 2 + о(ер) (е - +0),
р=о
334
2Ю = °' z20 = r> 21P = (a2p ~ V/2) Z2p = <a2p + V/2'
(B.13)
11 "2 2 , I/ 11 - I
и n2v
------ Z21 = - Jj"
X Z
t
*7 v
- 1
Далее рассмотрим различные значения степени / ? Z в формуле (4.115).
а. Пусть I = 0. Тогда, выполняя замену (В.12) в интеграле
if(r, е), получим
40)(Т'е>= / w0(z> €) = фо(212 + z2'е)-
-1 V 1 -
Аналогично утверждению 4.2 (см. § 4.7) с учетом формул (В.12), находим,
что существует предел
1 tj; (х, 0)
lim 4°>(г, е) = / -р== - л:Ф0(т,
0), = 1, (В. 14)
-1 VI -
Е -* +0
и справедливо равенство (4.116).
б. Пусть / > 0. В этом случае в точке t = aQ(е) имеется
сингулярная особенность. Представим /^(т, е) в виде
4V.")=/+
a, k ' Jfe=0 "i
*j/*> ?) = (t- r)'(t - e) = V'flO* - t)1, (B.15)
1
('-VI
*/<.")-2 ^W0' '* - aJl
k=0
Выполняя в регулярной составляющей интеграла /^(г, е) (первое слагаемое
в (В. 15)) замену переменной (В.12), найдем
