Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
|2 |2
д?2": -4 + -| " 1. (Б.4)
°2 Ь2
Степень сложности вычисления интегралов Sy и 1у связана
с функцией /(jj, >'2), задающей граничную поверхность ударника
(3.17). Для трех типов поверхностей, рассмотренных в § 3.5, эти величины
наиболее просто определяются для эллиптического параболоида (см. (3.116),
(3.117)):
t А
/0(>1> у2) 2а 2V
(Б.5)
С __S 2f ~ 2,
2 а
Vi
hf ---------Л----S COS
У 4а
329
Для эллипсоида (3.119) и двухполостного гиперболоида (3.122)
величины Sy и /у выражаются через эллиптические интегралы,
сведение к которым достаточно громоздко. Поэтому представим Sy и /у
в виде однократных интегралов, имея в виду, что
последние могут быть найдены любым численным методом:
а а
2 2
Sy= be f Ф(х) dx, /у = Ъс / дсФ(х) dx, (Б.6)
-а -а
2 2
где функция Ф(х) определяется так: эллипсоид
Ф(х) ш-Ь s/p(x)R2(x) + Q2(x) arcsm \ V^,
v2 (х cos # + Л.)2
Р(х) = 1-% Q2(x) = 1-------------
а2 а %
R2(x) = Q2(x) - -ф Р(х);
двухполостный гиперболоид
/п
Ъг Vp(x) •+ V* (х)
V У3(х
а* ' ' -а' ' . й2
(х cos + A J2 А2
G3(x) = 1 +----------- 2- 07 , R3(x) = Q3(x) + -§/>(*).
(Б.7)
Ф(х) = - ^-yJp(x)R4(x) - Q4(X) In--------; -V, (Б.8)
VO^*)
В. Асимптотическое разложение интеграла второго типа (сверхзвуковой
случай)
Рассматривается зависящий от параметра е интеграл i^(r, е)
(4.115) при т < а^. Для получения его разложения (4.116) при
ззо
е -" +0 предварительно необходимо вычислить интеграл вида (ах < а < а2
или av < "2 < а):
°2 , _
Kq(a-, cty а2) = / -' S((y- dt (ff G Z). (B.l)
Соответствующий неопределенный интеграл /^(f) удовлетворяет
следующему рекуррентному соотношению [145, 185]:
\ Г\а)(я + 1)/9+1(0 + (ff + ^Г(а)/9(0 + qT(a)Jq_x(t) =
= (f-")*S(0,
79(0 = / (t - dt (9 G z), (B.2)
T \ct) = -2, T'(a) = + а2 - 2а, Г(а) = (a - - a).
При ^ > 0 или q < 0, a2< а интехрал (B.l) имеет только
интегрируемые особенности. Поэтому для этого случая может быть получена
следующая рекуррентная формула для -^(a; ctj, а2):
| Г "(a)(ff + 1 )Kq+l + (ff + I) T\tt)Kg + qT(a)Kq_x = 0. (B.3)
Начальные условия для (В.З) имеют вид [73, 145]:
°2
dt + (ai + a2^
К0(a; a,, "2) = /-=- arcsin-------------------------------------= я
(" G Я),
a ' ' 2 1
(B.4)
a
2
dt
)S(t)
J T'(a)t + a(a, + a2) ~ 2ej"2
- arcsin
-j-- ¦¦¦ arcsm-------------rrz-------r~
V-T(a) (" - t)(tt2 - ax)
a2
Л
При ^ < 0 и ax < a < a2 подынтегральные функции в (B.l)
содержат сингулярную особенность t = а и понимаются в смысле
регуляризованного значения:
Кд(а; ау а2) = K_s =
331
Г f (t\ it i V f dt
- j m ^ j - 7-7^ =
". *=0 ". (*
'-,(0
+ lim /(t) - lim f (t) (s = -q > 0),
af t-*a-0
f-* a+0
(t-a)s
m -
k-0
(B.5)
m = s \t), fs(t) = /,(o+/"(0-4(0. Уо = 2----------^
s-к 1 *
4(0 = In If-a)
*=0 (s ~ * ~ W* ~ a)
= /'-1)(а)
(s -
1)!
С использованием формул (B.2) и (В.5) найдем, что в этом случае К^а;
а{, а2) удовлетворяют неоднородному рекуррентному
соотношению, левая часть которого совпадает с (В.З), а правая часть имеет
