Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
р 2 лД 3
w(a0> х) = ^Я(т) 2 \~ТХ + 2 DknfPk2mia0> т)
к= 1
т=О
Я(т- 2г}к%),
Vm(a O'т) = V
Я(1 - ^In - H(4kv0 - 1) arctg|i-
1+* (6.88) n2i(ao'r) = - vlnT^
^2m(a0' r) = ~2 l2~ arct" f- (* = 2- 3>
^ " sw *km У
313
Отмеьш, 4Ti> формулы (6.аЗ/ и (6.84) справедливы и при нулевой
начальной ширине носителя напряжений (aQ = 0). При
этом перемещения также непрерывны, и в том числе, в центральной точке х =
0, что видно также из (6.88).
§ 6.4. Перемещения на границе акустического полупространства
Результаты, приведенные в предыдущих параграфах этой I главы, могут
быть перенесены на акустическое полупространство с помощью предельного
перехода при rj -* " (к -* 1). Интегральные уравнения, выписанные в § 6.1
для различных случаев симметрии контактной задачи, остаются в силе, если
их ядра заменить на соответствующие функции влияния для акустической
среды (см. § 2.9). Ядро А(г,р, г) интегрального представления 6.19) для
осесимметричной задачи с учетом формул (2.143) и (6.23) при гр * 0
определяется так:
р 1 тЯ(т - "!>
A(r'p't)'*_fI^7T7d'=-
рт J. Щ* ~ hi)
ж(2 гр)
nQrpfnl^-zf4rr?dZ~
^372Я(пп)[Я(-п1)/3(-1) + Н(п{Уг(гп)\ =
-----гя(т " \ r ~ р \ - г - р) +
ж (г - р)(г - р )
+ E(8V m)H(r + о - т) ].
(6.89)
Использованные в (6.89) параметры Zjj, z2, Пр и т, амплитуда
(5, эллиптических интегралов и интегралы /j(z) и /2(z) определены
в формулах (5.32), (5.33).
При р = 0 и г = 0 имеем
Л(г, 0, г) = 0, А(0,р, г) = ~^г#(т - я). (6.90)
Р
Отметим, что аналогично предельному переходу (2.145), (2.146) можно
показать, что формулы (6.89) и (6.90) следуют из (6.45), где необходимо
заменить параметр т на Пт.
Формулы для перемещений на границе акустического полупространства в
случае заданного давления (6.52) или (6.72) могут
быть получены с помощью предельного перехода при "/-*•<" в
(6.84) или повторением соответствующих выкладок § 6.3. А
.j 14
именно, из (6.53) с учетом формулы (2.142) для акустической среды получим
Г
ги(х,т) = Wx(x,t) = / dt f GAx - g, x - t)T(g, t) X
0 -e2(i)
Gf(x, T) *-------------
лгх
ХЩт-t - \x-g\)dg,
(6.91)
Для равномерно распределенного по границе полупространства давления
(6.72) в формулах (6.74) необходимо' положить
V2) = / -~dz =
JZZ
I arcsm z---------
ж \ Z
\
(6.92)
Тогда функции т2) согласно (6.70) имеют следующий
вид
**Wrl> Г2> = ~PoH(r)(r2 ~ Tl)>
ЖцЛ(Т,, r2) = T2) - -^2 '<<"
Р0Я(Т) 2
1=1
(6.93)
l(r2 ~ Ti) + ^и(У)
г 'ЩУ)
Ju(y) = Jm(y) ~ f dy,
V
где функции /1Ю(у) и $и(У) определены формулами (6.81).
Интеграл /(.(у) аналогично (6.82) может быть представлен в следующем
виде:
х. -vj 1 - v20 VSjy)
/, .(у) = у arcsm----+ х-"-L, .(у) +-----------
1г У 1 .% It' vn
vo
In
V + V5ii^
V-x,
(6.94)
Подставляя (6.94) в (6.93), с учетом формул (6.70) и (6.91)
для перемещений на границе акустического полупространства при
3)j
граничных условиях (6.72) после некоторых преобразованйй получим
следующие выражения (х G Л): дозвуковой случай (0 < < 1)
/ ч тг/ ч v 1 Г + V°*0i + ^Ю^т2 ~ хо/
"/(х, т) = Ж(х, г)--------j" ^ *2ln --------
/=1
X.
I
X
хГ(т "
lxo/D> (6.95)
г=1
2L
+ г arctg -
*o/
X. x + Vt2 - x2 1 u XUi.
--------r In
l*0i
я(т - l*0/l);
"o'1
критический случай (vQ = 1) w(x, r) = W(x, t) сверхзвуковой случай (i"Q
> 1)
w(x, Г) = W(x, r) + 2 arctg
v0 I /=l ^ioVT x0/
X
(6.96)
хя(т " I x0i I ) + (S " \x\ )H(a2 - | x | )#( j x | -r-a2)
(6.97)
Из формул (6.95) может быть получено решение задачи для
фиксированного носителя давления на границе полупространства ("о = 0):
w(x, т) = р0тН(а2 - | х 1) +
frVr2 - х2
/=1
ог
2хо"
Vt2 - х2. х". т + Vt2 - х2.1
