Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 21

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 60 >> Следующая


Pviu 1> U2, •*•> "ь ti, t2.....4) =

= РиіЩ, Щ.....uk; tx-T, t2-T, ..., tk-T) (3.2.1)

при всех k и всех Т. Для таких процессов плотность распределения первого порядка не зависит от времени и поэтому может быть обозначена символом Ри(и). Аналогично плотность распределения второго порядка зависит только от разности времен г = t2 — t\ и может быть обозначена символом pu{u\,u2\x).

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если выполняются следующие условия:

1) E

2) E

и (01 не зависит от t;

u(ti)u(t2)] зависит только от т = t2 — tu

Всякий строго стационарный процесс является также стационарным в широком смысле, однако стационарный в широком смысле процесс не обязательно является строго стационарным.

Если разность U(t2)—U{tі) строго стационарна при всех t2 и tu то говорят, что U(t) имеет стационарные приращения1). Если Ф(^)—строго стационарный случайный процесс, то новый случайный процесс

t

f/(0 = f/(W+So(i)di it>t0) (3.2.2)

и

[который построен с использованием интегралов от выборочных функций процесса Ф(0] не стационарен, но имеет стационар-

') Мы должны былн бы различать здесь приращения строго стационарные н стационарные в широком смысле. Однако для простоты мы постараемся обходиться без излишних определений, имея в виду тот вид стационарности, который действительно имеет место в каждом конкретном случае. Случайные процессы

69

ные приращения. Такой случайный процесс играет важную роль в некоторых практических задачах.

Так как полное описание случайного процесса редко оказывается необходимым и даже не всегда возможно, мы, как правило, будем пользоваться для этого ограниченной совокупностью плотностей распределения (статистикой) конечного порядка, особенно первого и второго. В таких случаях необходимо только знать характер стационарности случайных процессов, описываемых статистикой конечного порядка (например, являются ли случайные процессы, описываемые статистикой второго порядка, строго стационарными, стационарными в широком смысле или имеют стационарные приращения). В дальнейшем, называя случайный процесс просто стационарным без указания, к какому типу стационарности он относится, мы будем под этим подразумевать, что используемая в наших вычислениях конкретная статистическая величина по предположению не зависит от выбора начала отсчета времени. В зависимости от того, какие вычисления производятся, данный термин может относиться и к другим типам стационарности. В тех случаях, когда возможна путаница, мы будем точно оговаривать предполагаемый тип стационарности.

Наиболее ограниченным классом случайных процессов и наиболее часто используемым на практике является класс эргоди-ческих случайных процессов. Здесь речь идет о соотношении между свойствами отдельной выборочной функции в процессе ее эволюции во времени и свойствами всего множества функций в один или несколько характерных моментов времени. Иначе говоря, мы рассматриваем вопрос о том, является ли каждая выборочная функция в некотором смысле типичной для всего ансамбля.

Дадим более точное определение: случайный процесс называется эргодическим, если всякая его выборочная функция (кроме, может быть, некоторого подмножества их, характеризующегося нулевой вероятностью) принимает вдоль временной оси (т. е. «по горизонтали») значения с той же самой совместной относительной частотой, что и наблюдающиеся во всем множестве функций в любой произвольно выбранный момент или ряд моментов времени (т. е. «по вертикали»).

Для того чтобы случайный процесс был эргодическим, он должен быть строго стационарным. Поясним это на примере случайного процесса, который является неэргодическим из-за своей нестационарности. Выборочные функции такого процесса показаны на рис. 3.2. Предположим, что все выборочные функции имеют одинаковое распределение относительных частот на временной оси. Тогда очевидно, что относительные частоты, на- 70

Глава З

блюдаемые «поперек» процесса в моменты времени t\ и t2, не будут одинаковы, поскольку флуктуации всех выборочных функций в момент времени t2 больше, чем в момент t\. Таким образом, не существует единого распределения относительных частот в напрайлении поперек процесса. Следовательно, относительные частоты, наблюдаемые в поперечном и продольном процессу направлении, не могут быть одинаковы во все моменты времени. Следовательно, такой процесс не является эргодическим.

Хотя эргоднческий процесс должен быть строго стационарным, не все строго стационарные процессы являются обязательно эргодическими. Мы продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть U(t)—случайный процесс вида

U (t) = A cos (сot + Ф),

(3.2.3) Случайные процессы

71

где ш — известная постоянная, а Л и Ф — независимые случайные переменные с плотностями распределения

Pa(O) = T 6(а-1)+4б(а-2),

РФ (ф) :

— J 2л ПРИ -

(3.2.4)

О в других случаях.





WM



В силу однородности распределения переменной Ф на интервале (—Jt, я), этот случайный процесс является строго стационарным. Но, как показано на рис. 3.3, отдельная выборочная функция не типична для всего процесса. А именно, существуют два класса выборочных функций, один класс имеет амплитуду, равную
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed